Vì x, y, z là các số nguyên dương nên x,y,z \(\ge1\)

Ta có

\(x^2+y^3+z^4=90\)

\(\Rightarrow z^4< 90\)

Ta thấy rằng \(\hept{\begin{cases}4^4=256>90\\3^4=81< 90\end{cases}}\)nên z không thể lớn hơn 4 được

Hay z nhận các giá trị là 1, 2, 3

Với z = 3 thì

\(x^2+y^3=90-3^4=9\)

Tương tự như trên ta cũng thấy được: y chỉ thể nhận các giá trị 1,2

Thế vô lần lược tìm được: y = 2, x = 1

Xét lần lược các trường hợp của z sẽ tìm được các nghiêm còn lại

Các bộ số cần tìm là: \(\left(x,y,z\right)=\left(1,2,3\right);\left(5,4,1\right);\left(9,2,1\right)\)

Mình chỉ hướng dẫn bạn cách làm thôi nhé.

Vì x,y,z là các số nguyên dg nên x,y,z >/1 

Ta có : x² +y³ +z⁴ = 90

Suy ra z⁴ < 90

Ta thấy rằng {4² = 256 > 90 , 3⁴ = 81 < 90 nên z ko thể >4

Hay z nhận các gt là 1,2,3

Với z=3 thì :

x²

Bạn trừ đi rồi gộp thành hằng đẳng thức là được nhé

Ta có: 

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)=3+\left(\frac{xz}{y^2}+\frac{y^2}{xz}\right)+\left(\frac{x^2}{yz}+\frac{yz}{x^2}\right)+\left(\frac{z^2}{xy}+\frac{xy}{z^2}\right)\)

\(\ge3+2\sqrt{\frac{xy^2z}{y^2xz}}+2\sqrt{\frac{x^2yz}{yzx^2}}+2\sqrt{\frac{z^2xy}{xyz^2}}=3+2+2+2=9\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z\). 

Suy ra giả thiết xảy ra khi \(x=y=z\)suy ra \(x=y=z=1\).