Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow\frac{abc}{c\left(a+b\right)}=\frac{abc}{a\left(b+c\right)}=\frac{abc}{b\left(c+a\right)}\)

\(\Rightarrow c\left(a+b\right)=a\left(b+c\right)=b\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow ac+bc=ab+ac=bc+ab\)

Lại có: \(ac+bc=ab+ac\)\(\Rightarrow bc=ab\)\(\Rightarrow a=c\)   (1)

 \(ab+ac=bc+ab\)\(\Rightarrow ac=bc\)\(\Rightarrow a=b\)              (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a=b=c\) 

Ta có: \(P=\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{a.a^2+b.b^2+c.c^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{a^3+b^3+c^3}=1\)

Dễ vcl giải

Có a²(b+c)-b²(a+c)=2013-2013=0

a²b+a²c-b²a-b²c=0

a²b-b²a+a²c-b²c=0

ab(a-b)+c(a²-b²)=ab(a-b)+c(a-b)(a+b)=0

(a-b)[ab+c(a+b)]=0

Suy ra 1 trong 2 số =0 mà a và b khác nhau nên ab+c(a+b)=0 

Suy ra ab và c(a+b) là 2 số đối suy ra ab×c và c×c(a+b) là 2 số đối suy ra abc và c²(a+b) là 2 số đối

=>c²(a+b)-abc=0

<=>c²(a+b)=-abc

Lại có ab + c(a+b)=0 =>          ab + ac + cb =0 

<=> a(b+c)+cb=0

<=> a²(b+c) + abc =0

=>abc =0-2013=-2013=> abc = -2013

Nên c²(a+b)=-(abc)=-(-2013)=2013 .

Vậy c²(a+b)=2023 ezzzz 

Bài này dễ lớp 6 mà

Ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+3\frac{1}{a}.\frac{1}{b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-3\frac{1}{a}\frac{1}{b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-3\frac{1}{a}\frac{1}{b}\left(-\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3\frac{1}{abc}=\frac{3}{abc}\)

Ta lại có :

\(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{bca}{b^3}+\frac{cab}{c^3}\)

\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=abc.\frac{3}{abc}=3\)

\(\)

Bài làm:

Ta có: \(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}\)

\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

CM HĐT phụ:

Ta có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+3abc\)

\(=\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\right]+3abc\)

\(=\left[\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\right]+3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc\)

Áp dụng vào trên ta được:

\(abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

\(=abc\left[\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{bc}-\frac{1}{ca}\right)+\frac{3}{abc}\right]\)

Mà  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(P=abc.\frac{3}{abc}=3\)

Vậy P = 3

Lời giải:
$a^2(b+c)=b^2(b+c)$

$\Leftrightarrow a^2(b+c)-b^2(b+c)=0$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2)(b+c)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(b+c)=0$

Vì $a,b,c$ đôi 1 khác nhau nên $a-b\neq 0$

$\Rightarrow (a+b)(b+c)=0$

Mà $b+c\neq 0$ (do nếu $b+c=0$ thì $a^2(b+c)=0$ (trái với đề))

$\Rightarrow a+b=0$

$\Rightarrow H=c^2(a+b)=0$