P(2)=a.2+(a-1)=0 \(\Rightarrow\) a=1/3.

a)  P(0) = 0³ + a. x + b =0 => b =0

    P ( 1) = 1³ + a.1 + 0 = 0 => a =-1 

b) P(0) = b  = 3 n

  P (1) = a +b+1  = 3 m  => a = 3m - 3n -1

=> P(x) = x³ + ( 3m -3n -1 ) x + 3n 

               = x³ - x  + 3m x  - 3nx +3n  = x (x-1)(x+1)  + 3 ( mx -nx +n)  chia hết cho 3  ( vì x(x-1)(x+1) là 3 số liên tiếp => luôn chia hết cho 3)

Vậy P(x) luôn chia hết cho 3

a) Để đa thức f(x) có nghiệm là 1 và 3 thì \(1^3-a.1^2-9.1+b=3^3-a.3^2-9.3+b=0\)

=> \(1-a-9+b=27-9a-27+b\)

=> \(-a+9a+b-b=8\Rightarrow8a=8\Rightarrow a=1\)

Từ đó tính được b = 9.

b) Thay kết quả câu a vào f(x) ta được f(x) = \(x^3-x^2-9x+9\)

Đa thức f(x) có nghiệm khi:

\(x^3-x^2-9x+9=x^2\left(x-1\right)-9\left(x-1\right)\)

\(=\left(x^2-9\right)\left(x-1\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-9=0\\x-1=0\end{cases}}\)

Từ đó tìm được tập nghiệm của f(x) là {-3;1;3}.

Lời giải:
a) 

$P(x)+Q(x)=4x^2+x-5+5x^3-2x^2+2x-1=5x^3+2x^2+3x-6$

b) 

$H(x)=P(x)+ax=4x^2+x-5+ax=4x^2+x(a+1)-5$

c) Để $H(x)$ có nghiệm $x=2$

$\Leftrightarrow H(2)=0$

$\Leftrightarrow 4.2^2+2(a+1)-5=0$

$\Leftrightarrow a=\frac{-13}{2}$

Giao luu vấn đề mới

x=1, -2 là nghiệm

\(\hept{\begin{cases}a-\left(a+1\right)-\left(2b+1\right)+3b=0\\-8a-2\left(a+1\right)+2\left(2b+1\right)+3b=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\-10a+7b=0\Rightarrow a=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}\end{cases}}\)

Giả sử hai đa thức có nghiệm chung \(x_0\), ta thấy cả hai đa thức đều không nhận x = 0 là nghiêm nên \(x_0\ne0\) .

Ta có đồng thời:

   \(\hept{\begin{cases}x_0^4+ax_0^2+1=0\\x_0^3+ax+1=0\end{cases}}\)

Nhân cả hai vế của đẳng thức thứ hai với \(x_0\) rồi lấy đẳng thức thứ nhất trừ đi đẳng thức thứ hai ta được:

\(\left(x_0^4+ax_0^2+1\right)-x_0\left(x_0^3+ax_0+1\right)=0\)

=> \(1-x_0=0\)

=> \(x_0=1\)

Thức là nếu hai đa thức có nghiệm chung \(x_0\) thì nghiệm chung đó chỉ có thể bằng 1.

Để  x=1 là nghiệm chung của hai đa thức thì: \(1^4+a.1^2+1=0\) => a = -2