x⁴ đồng dư với 0; 1(mod8) 

y⁴ đồng dư với 0; 1(mod8)

=>VT đồng dư với 0;1;2 (mod8)

z⁴ đồng dư với 0;1(mod 8) =>7z⁴ đồng dư với 0;7(mod8)

=>VP đồng dư với 5;4(mod8)

x⁴ đồng dư với 0; 1(mod8) 

y⁴ đồng dư với 0; 1(mod8)

=>VT đồng dư với 0;1;2 (mod8)

z⁴ đồng dư với 0;1(mod 8) =>7z⁴ đồng dư với 0;7(mod8)

=>VP đồng dư với 5;4(mod8)

Từ đây suy ra điều phải cm

Nếu x; y; z là các số nguyên dương mà x y z = 1 => x = y = z = 1

=> bất đẳng thức luôn xảy ra dấu bằng

Sửa đề 1 chút cho z; y; x là các số dương

Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)

=> \(\frac{x^2}{y+1}\ge x-\frac{y+1}{4}\)

Tương tự: 

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge x+y+z-\frac{y+1}{4}-\frac{z+1}{4}-\frac{x+1}{4}\)

\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1