**** m chia hết cho 3 => m^2 chia hết cho 3 ( m^2 = m.m ) 
Tt: n^2 chia hết cho 3 

=> m^2 + n^2 chia hết cho 3 

**** định lí đảo 
m^2 + n^2 chia hết cho 3 

Xét: a chia 3 có 3 trườg hợp số dư: 0;1;2 => a^2 có 2 trườg hợp số dư là 0;1 < cm: đặt a = 3k + x với x là các trườg hợp số dư. sau đó tìm được số dư khi bình phương a > 


=> m^2 và n^2 cũng có các khả năng số dư đó khi chia cho 3 

Xét các trườg hợp: 

m^2 và n^2 chia 3 cùng dư 1 => m^2 + n^2 chia 3 dư 2 => loại 
m^2 và n^2 1 số chia 3 dư 0 và 1 số chia 3 dư 1 => m^2 + n^2 chia 3 dư 1 => loại 

=> m^2 và n^2 cùng chia hết cho 3 

hay m và n cùng chia hết cho 3

1) gọi số đó là ab 

theo bài ra ta có ab+ba=a+10b+b+10a=(10a+a)+(10b+b)=11a+11b

Vì 11a và 11b chia hết cho 11 nên 11a+11b chia hết cho 11

Vậy ab+ba chia hết cho 11

2) - a.b.c+ 2=333 

          a.b.c =333-2=331

- a.b.c+b=335         

b=335-331=2

- a.b.c+c=341

          c= 341-331 =10

=> Ta có: a.b.c=331

mà b=4; c=10 

=>4.10.c=331

=>40.c=331

mà 331 lại là số nguyên tố 

=> ko tồn tại các số tự nhiên a, b ,c nào

3) Có số abcd = 100ab +cd =200cd +cd (vì ab=2cd)

hay = 201cd

mà 201 chia hết cho 67

Do đó nếu ab=2cd thì abcd chia hết cho 67

Bài 1: abba = aca . 11 => abba luôn chia hết cho 11

Bài 2: ab - ba = 10a + b - 10b + a = 9a - 9b = 9(a-b) => chúng là bội của 9

Bài 3:

4¹⁰ + 4¹¹ +4¹² + 4¹³ + ... + 4¹⁹⁸ + 4¹⁹⁹

= (4⁰ + 4¹) .  4¹¹ + (4⁰ + 4¹) . 4¹³ + ... + (4⁰ + 4¹) . 4¹⁹⁹

= (4 + 1) . 4¹¹ + (4 + 1) . 4¹³ + ... + (4 + 1) . 4¹⁹⁹

= 5 . 4¹¹ + 5 . 4¹³ + ... + 5 . 4¹⁹⁹

= 5 . (4¹¹ + 4¹³ + ... + 4¹⁹⁹) => M chia hết cho 5

Vậy M là bội của 5

 ta có : a = 3m +1 và b = 3n +2 (với n,m là STN) 
=> a nhân b = (3m + 1)(3n + 2) = 9nm + 6m + 3n + 2 = 3(3mn + 2m + n) + 2 
suy ra : a nhân b chia 3 dư 2