\(a.\)Ta có:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

\(AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\left(đpcm\right)\)

\(b.\)Nếu x,y dương thì Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{y}.\frac{3y}{x}}=6\)hay\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\left(đpcm\right)\)

Nếu x,y âm ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}=\frac{3x^2}{xy}+\frac{3y^2}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3x^2}{xy}.\frac{3y^2}{xy}}=6\left(đpcm\right)\)

Số nghịch đảo \(\frac{a}{b}\) (b > 0) của b lớn hơn \(\frac{1}{2}\) thì là \(\frac{1}{1}\).

Vậy b bằng 1.

1/b>1/2 do vậy b<2 mà b ng,duong b=1

b=1 vì 1/b>1/2=>b<2

a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)

Theo bài ra, ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì (a-b)² chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

                                Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.

Câu 1 : phân số 33/39

Câu 2: phân số 2005/2807

Câu 3: phân số 1986/2000

Câu 4: các số nguyên là -1;1;-5. Tổng nghịch đảo là: -1+1-1/5=-1/5

làm gấp hộ mình

33/9 thế thôi nha

Dễ thôi

Ta có: \(a^2+b^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\sqrt{\left(ab\right)^2}=ab\)

Suy ra: \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

Suy ra: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Vậy đpcm

Gọi phân số đó là\(\frac{a}{b}\)

Theo đề ta có 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)=\(\frac{2a}{ab}+\frac{2b}{ab}\)=\(\frac{2a+2b}{ab}\)=\(\frac{1a+1b}{1}\)=\(1a+1b\)

Vì \(\frac{a}{b}\)là một phân số dương nên \(a\ge1;b\ge1\)\(\Rightarrow\)\(1a+1b\ge2\)

Vậy ta chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo không bao giờ nhỏ hơn 2.

Gọi phân số dương là a/b. Không mất tính tổng quát, giả sử a>0, b>0 và a≥b. Ta có thể viết a=b+m (m≥0). Ta có:

(a/b)+(b/a)=b/(b+m)≥1+[m/(b+m)]+[b/(b+m)]=1+[(m+b)/(b+m)]=2.

Vậy (a/b)+(b/a)=2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b (m=0).