Vì a,b,c là các số tự nhiên khác 0 nên a,b,c > 0.

Do vậy a < a + b < a + b + c

           b < b + c < a + b + c

           c < c + a < a + b + c

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Đáp số là M > 1. Bạn cần cách giải không ?

Co minh biet ket qua roi ban HiHI

mk chi cac bạn tuyet chieu;

nhung bai toan dang nay mk thuong lay so cu the nhu 1;2;3 .... thay vao se doan dc kq vi violympic thoi gian thi co hạn

cac ban co dong y k

; 

A<b

B<a

A=b

(cái nào cũng đúng)

có ba đáp án 

A  <

B   >

C   =

<

>

=

cần gấp mai sẽ lam cho

\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

\(=\left(1-\frac{b}{a+b}\right)+\left(1-\frac{c}{b+c}\right)+\left(1-\frac{a}{c+a}\right)\)

\(< 3-\left(\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+a}+\frac{a}{c+a+b}\right)=3-1=2\)

=>M < 2

Ta có: 

\(\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}<\frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}\)

=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Vậy M < 2.

Áp dụng tính chất của các dãy số bằng nhau ta có :

 a/b = b/c = c/a = a + b + c/ b + c + a

=> a/b = b/c = c/a = 1

Vậy....

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

Ta có : 

\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>1\)

Chúc bạn học tốt !!! 

a/b+c > a/a+b+c           (1)

b/c+a > b/a+b+c           (2)

c/a+b > c/a+b+c           (3)

Lấy (1)+(2)+(3) ta có

a/b+c + b/c+a +c/a+b < 1

Ta có:

\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+c+b}+\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)

Ta thấy \(\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>1\)

Vậy......

Cô nàng Vân Anh cũng hỏi câu này à?? Lạ nhé!!

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)