Gọi thương của P(x) khi chi cho (x-2), (x-3) lần lượt là A(x),B(x)               =>P(x)=(x-2).A(x)+5  (1)      và P(x)=(x-3).B(x)=7 (2)                               Gọi thương của P(x) khi chia cho (x-2).(x-3) là C(x) và dư là R(x)           Ta có : (x-2)(x-3) có bậc là 2 =>  R(x) có bậc là 1 => R(x) có dạng ax+b  (a,b là số nguyên )                                                             =>R(x)=(x-2)(x-3).C(x)+ax+b  (3)                                                         thay x=2 vào (1) và (3) ta có: P(x)=2a+b=5                                            thay x=3 vào (2) và (3) ta có: P(x)=3a+b=7                                         => a=2,b=1 =>R(x)=2x+1                                                                      Vậy dư của P(x) khi chia cho (x-2)(x-3) là 2x+1

Lời giải:
Gọi đa thức dư khi lấy $f(x)$ chia cho $x^2+x-6$ là $ax+b$ với $a,b\in\mathbb{R}$, $Q(x)$ là đa thức thương.

Theo bài ra ta có:

$f(2)=6067$

$f(-3)=-4043$

$f(x)=(x^2+x-6)Q(x)+ax+b=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b$

Cho $x=2$ thì:

$f(2)=0.Q(2)+2a+b=2a+b$

$\Leftrightarrow 6067=2a+b(1)$

Cho $x=-3$ thì:

$f(-3)=0.Q(-3)-3a+b=-3a+b$

$\Leftrightarrow -4043=-3a+b(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=2022; b=2023$

Vậy đa thức dư là $2022x+2023$

Ta có: 

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right)P\left(x\right)+3\)(1)

\(P\left(x\right)=\left(x-2\right)Q\left(x\right)+4\)(2)

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)H\left(x\right)+ax+b\)(3) \(\left[x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right]\)

(đa thức dư là ax + b vì đa thức bị chia có bậc 2 thì đa thức đư có bậc 1)

Thay x = 1 vào (1), được P(1) = 3

Thay x = 1 vào (3), được \(a+b=3\) (4)

Thay x = 2 vào (2), có P(2) = 4

Thay x = 2 vào (2), có 2a + b = 4 (5)

Từ (4) và (5), ta tính được a = 1, b = 2

Vậy đa thức dư khi chia P(x) cho \(x^2-3x+2\)là \(ax+b=x+2\)