Vì p là số nguyên tố lẻ nên p>1.ĐKXĐ m,n khác 0.

Ta có: \(\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p}=\left(\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}\right)\Leftrightarrow\)\(\left(m^2+n^2\right)p=m^2n^2\)   \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2n^2-m^2p-n^2p+p^2=p^2\Leftrightarrow\left(m^2-p\right)\left(n^2-p\right)=p^2\)  \(\left(2\right)\)

Từ (1) ta được m hoặc n chia hết p.Giả sử m chia hết cho p. Đặt m²=a²p² ( a khác 0) nên (2) \(\Leftrightarrow\)  \(\left(a^2p^2-p\right)\left(n^2-p\right)=p^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2p-1\right)\left(n^2-p\right)=p\)

Vì a khác 0 nên a²>0 a²p chia hết p . Vì p>2 nên a²p-1 không chia hết cho p.

Vậy n²-p chia hết cho p nên n chia hết cho p . Đặt n=bp.

Dựa pt đầu ta có \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2p^2}+\frac{1}{b^2p^2}\Leftrightarrow1=\frac{1}{a^2p}+\frac{1}{b^2p}\)

nên a²p=2 và b²p=2 nên vô lý

\(\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}=\dfrac{9}{n}\) =>\(\dfrac{q-p}{pq}=\dfrac{9}{n}\) =>\(n=\dfrac{9pq}{q-p}\).

- Đặt pq=n , p-q=9

- Vì n là số nguyên nên: 9pq ⋮ (q-p)

*Gỉa sử p,q lẻ thì 9pq ⋮ 2 =>p⋮2 hoặc q⋮2 (vô lý).

*Gỉa sử p chẵn, q lẻ thì p⋮2 mà p là số nguyên tố nên p=2.

- p-q=9 =>2-q=9 =>q=-7 (không thỏa mãn).

*Gỉa sử q chẵn, p lẻ thì q⋮2 mà q là số nguyên tố nên q=2.

- p-q=9 =>p=11 (thỏa mãn).

- Vậy p=11 ; q=2.