Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có phương trình là x 1 = y + 1 2 = z 1 v à x 1 = y - 1 - 2 = z - 1 3 .Đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với đường thẳng ∆ : x - 4 1 = y - 7 4 = z - 3 - 2 có phương trình là:
Chọn B
Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d₁ và d₂
Khi đó (P) đi qua M (0;-1;0) và có cặp véctơ chỉ phương 
Gọi 
là VTPT của (P). Khi đó 
Phương trình (P): -8x+3y+2z+3=0
Gọi H là giao điểm của đường thẳng d₂ và (P):
Đường thẳng d đi qua H và có VTCP 
có phương trình:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : x = 1 + t y = 2 - t z = t , d ' : x = 2 t ' y = 1 + t ' z = 2 + t ' . Đường thẳng ∆ cắt d, d ' lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng ∆ là
A. x - 1 - 2 = y - 2 1 = z 3
B. x - 4 - 2 = y - 1 = z - 2 3
C. x 2 = y - 3 - 1 = z + 1 - 3
D. x - 2 - 2 = y - 1 1 = z - 1 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 v à d 2 lần lượt có phương trình là x − 1 1 = y − 2 3 = z − 3 − 1 , x − 2 − 2 = y + 2 1 = z − 1 3 . Tìm tọa độ giao điểm M của d 1 và d.
A. M = (0;–1;4)
B. M = (0;1;4)
C. M = (–3;2;0)
D. M = (3;0;5)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = 1 + t y = 2 − t z = t , d ' : x = 2 t ' y = 1 + t ' z = 2 + t ' . Đường thẳng ∆ cắt d , d ' lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng ∆ là
A. x − 1 − 2 = y − 2 1 = z 3 .
B. x − 4 − 2 = y − 1 = z − 2 3 .
C. x 2 = y − 3 − 1 = z + 1 − 3 .
D. x − 2 − 2 = y − 1 1 = z − 1 3 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : x = 1 + t y = 2 - t z = t , d ' : x = 2 t ' y = 1 + t ' z = 2 + t ' . Đường thẳng ∆ cắt d, d' lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng ∆ là
A. x - 1 - 2 = y - 2 1 = z 3
B. x - 4 - 2 = y - 1 = z - 2 3
C. x 2 = y - 3 - 1 = z + 1 - 3
D. x - 2 - 2 = y - 1 1 = z - 1 3
Đáp án D
HD: Để AB nhỏ nhất <=> AB là đoạn vuông góc chung của d, d'
Gọi A ∈ d => A(1+a;2-a;a) và B ∈ d => B(2b,1+b;2+b) ⇒ A B → = ( 2 b - a - 1 ; a + b - 1 ; b - a + 2 )
Vì A B ⊥ d A B ⊥ d ' ⇒ A B → . u d → A B → . u d ' → ⇔ 2 b - a - 1 - a - b + 1 + b - a + 2 = 0 2 ( 2 b - a - 1 ) + a + b - 1 + b - a + 2 = 0
⇔ - 3 a + 2 b + 2 = 0 - 2 a + 6 b - 1 = 0 ⇔ a = 1 b = 1 2
Vậy A(2;1;1), B 1 ; 3 2 ; 5 2 ⇒ A B → = - 1 ; 1 2 ; 3 2 = - 1 2 2 ; - 1 ; - 3
⇒ ( A B ) : x - 2 - 2 = y - 1 1 = z - 1 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x = t y = − 1 z = − t và 2 mặt phẳng (P),(Q) lần lượt có phương trình x + 2 y + 2 z + 3 = 0 ; x + 2 y + 2 z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
A. x + 3 2 + y + 1 2 + z − 3 2 = 4 9
B. x − 3 2 + y + 1 2 + z + 3 2 = 4 9
C. x + 3 2 + y + 1 2 + z + 3 2 = 4 9
D. x − 3 2 + y − 1 2 + z + 3 2 = 4 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x = t y = - 1 z = - t và 2 mặt phẳng P , Q lần lượt có phương trình x + 2 y + 2 z + 3 = 0 ; x + 2 y + 2 z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng P và Q .
A. x + 3 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 4 9
B. x - 3 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 4 9
C. x + 3 2 + y + 1 2 + z + 3 2 = 4 9
D. x - 3 2 + y - 1 2 + z + 3 2 = 4 9
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng lần lượt có phương trình d : x + 3 2 = y + 1 1 = z − 1 , P : x − 3 y + 2 z + 6 = 0 . Phương trình hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng là:
A. x = 1 − 31 t y = 1 + 5 t z = − 2 − 8 t
B. x = 1 + 31 t y = 3 + 5 t z = − 2 − 8 t
C. x = 1 + 31 t y = 1 + 5 t z = 2 − 8 t
D. x = 1 + 31 t y = 1 + 5 t z = − 2 − 8 t
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với có vectơ pháp tuyến
Chọn C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình lần lượt d: x = 1+2t, y = 2 - t, z = 3t . Tìm tọa độ điểm K đối xứng với điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d
A. K(4;3;3)
B. K(1;-3;3)
C. K(-4;-3;-3)
D. K(-1;3;-3)
Chọn A
Mặt phẳng qua I vuông góc với d có phương trình
Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d.
Thay x, y, z từ phương trình của d vào (1) ta có
