Gọi d là ƯCLN(2n+1;6n+5)

=>2n+1 chia hết cho d và 6n+5 chia hết cho d

=>3(2n+1) chia hết cho d và 6n+5 chia hết cho d

=>6n+3 chia hết cho d và 6n+5 chia hết cho d

=>(6n+5)-(6n+3) chia hết cho d

=>2 chia hết cho d =>ƯCLN(2n+1;6n+5) thuộc 1 hoặc 2

Nhưng loại 2 vì 2 số 2n+1 và 6n+5 là số lẻ nên không có ƯCLN là số chẳn => ƯCLN(2n+1;6n+5)=1 nên 2 số này là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Gọi d là ƯCLN (2n+1;6n+5)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+1\right)⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}}}\)

=> (6n+5)-(6n+3) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d 

=> d={1;2}

Vì 2n+1 là số lẻ => 2n+1 không chia hết cho 2

=> d=1

Gọi ƯCLN(2n+1;6n+5) là d

Có \(2n+1⋮d\)

\(6n+5⋮d\)

=> \(3\left(2n+1\right)⋮d\)

\(6n+5⋮d\)

=>\(6n+3⋮d\)

\(6n+5⋮d\)

=>\(\left(6n+5\right)-\left(6n+3\right)\)\(⋮\)d

=>2 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(2)={1;2}

Vì 2n+1 lẻ nên d khác 2

=> d bằng 1

Vậy....

 Gọi d là Ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 6n + 5

=> ( 6n + 5 ) - ( 2n + 1 ) chia hết cho d

=> ( 6n + 5 ) - 3( 2n + 1 ) chia hết cho d

=> ( 6n + 5 ) - ( 6n + 3 ) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

Vậy ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 6n + 5 là 2 .

Gọi a là ƯCLN(2n+1, 6n+5)

ta có: 2n+1 chia hết cho a và 6n+5 chia hết cho a

        3.(2n+1) chia hết cho a và (6n + 5) chia hết cho a

         6n+3 chia hết cho a và 6n+5 chia hết cho a

       [(6n+5) - (6n+3)] chia hết cho a

       [6n+5 - 6n -3] chia hết cho a

        2 chia hết cho a suy ra a  = 2 hoặc  1

Vậy 6n+5 và 2n+1 là hai số nguyên tố chung

 Gọi d là Ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 6n + 5 (dϵN')

=> ( 6n + 5 ) - ( 2n + 1 ) chia hết cho d

=> ( 6n + 5 ) - 3( 2n + 1 ) chia hết cho d

=> ( 6n + 5 ) - ( 6n + 3 ) chia hết cho d

  2 chia hết cho a suy ra a  = 2 hoặc  1

Vậy 6n+5 và 2n+1 là hai số nguyên tố chung

(6n+5) và ( 2n+1) 

Gọi d là ƯC ( 6n+5) và  (2n+1)

=> (6n+5) chia hết d và ( 2n+1) chia hết d

=> ( 6n+5) chia hết d và 3( 2n+1) chia hết d

=> [ ( 6n+5)  - ( 6n + 3 ) ] chia hết d

=> 2 chia hết d

=> d = 1 hoặc 2 

Vậy 6n+5 và 2n+1 nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN của 2n+5 và 6n+13 là d(d thuộc N sao)

=> 2n+5 và 6n+13 đều chia hết cho d

=> 3.(2n+5) và 6n+13 đểu chia hết cho d

=> 6n+15 và 6n+13 đều chia hết cho d => 6n+15-(6n+13) chia hết cho d hay 2 chia hết cho d (1)

Mà 2n chẵn nên 2n+5 lẻ => d lẻ (1)=> d =1 (vì d thuộc N sao)

=> 2n+5 và 6n+13 là 2 số nguyên tố cùng nhau (ĐPCM)

Gọi \(d\inƯCLN\left(2n+1;6n+5\right)\) nên ta có :

\(2n+1⋮d\) và \(6n+5⋮d\)

\(\Leftrightarrow3\left(2n+1\right)⋮d\) và \(6n+5⋮d\)

\(\Leftrightarrow6n+3⋮d\) và \(6n+5⋮d\)

\(\Rightarrow\left(6n+5\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d=2\)

Mà \(2n+1;6n+5\) là các số lẻ nên không thể có ước là 2

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2n+1\) và \(6n+5\) là nguyên tố cùng nhau

Giả sử 2n+1 và 6n+5 ko phải là 2 số nguyên tố cùng nhau thì:

cho d là ƯCLN của chúng và d>1

ta có:2n+1chia hết cho d,vậy 6n+3 cũng chia hết cho d

suy ra:6n+5-(6n+3) chia hết cho d

vậy 2 chia hết cho d

mà các ƯC của 2 là :2 và 1

mà cả 2 số đã cho đều là số lẻ,nên d phải bằng 1

nhưng như vậy thì trái với giả thuyết mà chúng ta đặt ra ban đầu

vậy 2n+1 và 6n+5 là 2 số nguyên tố cùng nhau