x, y là số nguyên tố

+) Với x =2 

=> 12+1=19y^2 => y^2=13/19 loại 

+) Với y=2

=> 3x^2+1=76

=> x^2=25=> x=5

+) Với x, y là số nguyen tố lẻ

3x^2 lẻ

=> 3x^2+1 là số chẵn 

=> 19y^2 là số chẵn => y^2 là số chẵn => y là số chẵn vô lí

Vậy y=2, x=5

( 19y + 2 . 5² ) : 14 = ( 118 - 113 )² - 2⁴

=> ( 19y + 50 ) : 14 = 6² - 16

=> ( 19y + 50 ) : 14 = 20

=> 19y + 50 = 380

=> 19y = 330

=> y = 330/9

=> Không có giá trị x ở trong đề bài nên x không có giá trị thỏa mãn

Vậy x không có giá trị thỏa mãn

Ta có: 3x² + 1 = 19y²

<=> 19y² - 3x² = 1 (1)

Do VP = 1 là số lẻ => VT = 19y² - 3x² lẻ

=> 19y² chẵn và 3x² lẻ hoặc 19y² lẻ và 3x² chẵn

Nếu 19y² chẵn và 3x² lẻ => y² chẵn  vì y nguyên tố => y = 2 và x² lẻ => x lẻ

Với y = 2 thay vào (1) <=> 19.2² - 3x² = 1

<=> 75 = 3x²

<=> x² = 25

<=> x = 5 (tm vì x nguyên tố) hoặc x = -5 (ktm)

Nếu 19y² lẻ  và 3x² chẵn => y² lẻ và x² chẵn 

vì x nguyên tố => x = 2 và y lẻ

Thay x = 2 vào (1)

=> 19y² - 3.2² = 1

<=> 19y² = 13

<=> y² = 13/19 (không là số chính phương)

=> không có giá trị y nguyên tố tm

Vậy x = 5 và y = 2

Lời giải:

Nếu $x$ lẻ thì $3x^2+1$ chẵn 

$\Rightarrow 19y^2$ chẵn 

$\Rightarrow y$ chẵn. Mà $y$ nguyên tố nên $y=2$. Khi đó:

$3x^2+1=19y^2=19.2^2=76$

$\Rightarrow x^2=25\Rightarrow x=5$ (thỏa mãn) 

Nếu $x$ chẵn thì $x=2$ do $x$ là số nguyên tố.

$\Rightarrow 19y^2=3x^2+1=3.2^2+1=13$ (vô lý - loại) 

Vậy........