a/b=c/d nên ad=bc

Ta có:

(a+b)(c-d)= ac -ad +bc -bd=ac-bd(1)

(a-b)(c+d)=ac+ad-bc-bd=ac-bd(2)

Từ (1) và (2) suy ra: (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d) nên: (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)

A/D tỉ lệ thức ta dc :

  \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(=>\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=>\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)

đpcm 

Gọi giá trị chung của các tỉ số đó là k, ta có :

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow\) \(a=k\times b\) ; \(c=k\times d\)

Ta có :

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{k\times b+b}{k\times b-b}=\frac{b\times\left(k+1\right)}{b\times\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\)   (1)

\(\frac{c+d}{c-d}=\frac{k\times d+d}{k\times d-d}=\frac{d\times\left(k+1\right)}{d\times\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\)   (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)

Ta có:

\(\left(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\right)\left[\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)+\left(a+2b\right)\right]\)

\(\ge\left[\sqrt{\frac{a^2}{b+2c}.\left(b+2\right)}+\sqrt{\frac{b^2}{c+2a}.\left(c+2a\right)}+\sqrt{\frac{c^2}{a+2b}.\left(a+2b\right)}\right]^2\)

\(=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\right)\left[3\left(a+b+c\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\ge\frac{a+b+c}{3}\left(đpcm\right)\)

Từ giả thiết ta suy ra ab=c²

Thay số vào ta có : \(\frac{a^2+ab}{b^2+ab}=\frac{a\left(a+b\right)}{b\left(b+a\right)}=\frac{a}{b}\)

=> đcpcm

__cho_mình_nha_chúc_bạn_học _giỏi__ 

\(THANKS\)\(VERY\)\(MUCH\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ =>ad=bc\)

(a+2c)(b+d)=a(b+d)+2c(b+d)

=ab+ad+2bc+2cd

=ab+ad+2ad+2cd   (bc=ad nên thay vào)

=ab+3ad+2cd   (1)

tương tự

(a+c)(b+2d)=ab+2ad+cb+2cd

=ab+3ad+2cd      (2)

Từ (1) và (2)

=>(a+2c)(b+d)=(a+c)(b+2d)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{c\left(a+b+c\right)}\Leftrightarrow c\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)=-ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ac+bc+c^2\right)\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

=> a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a

không mất tính tổng quát ,giả sử a=-b, ta có:

\(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{-b^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{-b^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\left(2\right)\)

Từ  (1) và (2) => đpcm

Tương tự với 2 trường hợp còn lại ta cũng có đpcm

hỏi j khó vậy

Sửa VP = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

=> a, b, c > 0

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( cái này bạn tự chứng minh nhé ) ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

TT : \(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+c-b+b+c-a}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Cộng theo vế ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c

Sử dụng liên tiếp 2 lần bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge2\sqrt[2]{\frac{1}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{a+b-c+b+c-a}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)

Bằng phương pháp chứng minh tương tự ta thu được : 

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được : \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)

\(< =>2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(< =>\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

+ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)

+ \(\frac{a}{c}=\frac{3a}{3c}=\frac{b}{d}=\frac{3a+b}{3c+d}\) \(\Rightarrow\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)

+ \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a\cdot b}{c\cdot d}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\Rightarrow\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

câu cuối lm tương tự

a)

    \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Leftrightarrow\left(1-\frac{b}{a}\right)=\left(1-\frac{d}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\Leftrightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)

b)

    Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được; 

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+b}{c+d}\)

c)

      \(\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Leftrightarrow3+\frac{b}{a}=3+\frac{d}{c}\Leftrightarrow\frac{3a+b}{a}=\frac{3c+d}{c}\Leftrightarrow\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)