Cho x,y khác 0. Chứng minh rằng : \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}>=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
LT
Những câu hỏi liên quan
cho x,y,z khác 0 và x+y+z=0
chứng minh rằng
\(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{x^2+z^2}{x+z}=\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\)
cho x,y là số thực khác 0
chứng minh rằng:\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Ta có:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\right)\ge0\left(1\right)\)
Đến đây có 2 cách giải quyết
Cách 1:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{xy}\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^2y^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left[\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]}{x^2y^2}\ge0\left(true!!!\right)\)
Cách 2 là đặt ẩn:)
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge4\cdot\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}=4\)
\(\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
Khi đó ta có:
\(\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)
Nếu \(t\ge2\Rightarrow t+1>0;t-2\ge0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)
Nếu \(t\le-2\Rightarrow t+1< 0;t-2< 0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)>0\)
=> đpcm
coolkid cách 1 viết sai rồi nha Cool kid, phải là:
\(VT-VP=\frac{\left(x-y\right)^2\left[\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]}{x^2y^2}\ge0\) (chú ý là (x - y)2 chứ ko phải (x + y)2 nha!)
Xem thêm câu trả lời
Cho x,y khác nhau thỏa mãn x+\(\frac{1}{x}\)=y+\(\frac{1}{y}\).Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{x^2+1}\)+\(\frac{y}{y^2+1}\)=\(\frac{2\left(x+y\right)}{x^2+y^2+2}\)
Cho x+y=1 và xy khác 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)
Cho x,y,z khác 0 , x+y khác z , y+z khác x và:
\(\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}-\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}=1\)
Chứng minh rằng : \(x+y+z=0\)
thanks mn
Cho x và y là hai số khác 0 và thỏa mãn x+y khác 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\right)+\frac{3}{\left(x+y\right)^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{6}{\left(x+y\right)^5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{x^3y^3}\)
cho xy khác 0 và x+y =1
chứng minh rằng: \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}-\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)
Xét \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}=\frac{1-y}{y^3-1}+\frac{1-x}{x^3-1}=-\frac{1}{x^2+x+1}-\frac{1}{y^2+y+1}\)
\(=-\frac{x^2+y^2+x+y+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=-\frac{x^2+y^2+3}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+x+y+1}\)
\(=-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+3}{x^2y^2+x^2+y^2+2xy+2}=-\frac{4-2xy}{x^2y^2+3}=\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}\)
từ đó ta có đpcm
Cho x,y > 0. Chứng minh rằng: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\ge0\) (Luôn đúng vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall x;y>0\))
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng nếu \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\) với x khác y, yz,xz khác 1, x, y, z khác 0 thì \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)