Ta có :

2n+2017 là số chính phương lẻ => 2n+2017 chia 8 dư 1

=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4

=> n+2019 chia ch 4 dư 3

mà số chính phương chia cho 4 dư 0,1

=> không tồn tại n

2n + 2017 là số chính phương lẻ

=> 2n + 2017 chia 8 dư 1 ( do scp lẻ chia 8 dư 1)

=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4

=> n + 2019 chia 4 dư 3

Mà scp chia 4 dư 0 hoặc 1

=> n + 2019 ko là scp

Vậy ko tồn tại STN n thoả mãn

Đặt \(\hept{\begin{cases}2n+2017=a^2\\n+2019=b^2\end{cases}\left(a,b\inℕ^∗\right)}\)

Dễ thấy : \(a^2\) là số chính phương lẻ, mà số chính phương lẻ chia 8 luôn dư 1. ( Điều này sẽ được chứng minh ở cuối bài làm ).

\(\Rightarrow2n+2017\equiv1\left(mod8\right)\)

\(\Rightarrow2n⋮8\) \(\Rightarrow n⋮4\)

\(\Rightarrow n+2019:4\) dư 3 hay \(\Rightarrow b^2:4\) dư 3

Lại có : một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1. ( Điều này sẽ được chứng minh ở cuối bài làm )

\(\Rightarrow n+2019\) không phải là số chính phương.

Do đó không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn đề.

*) Chứng minh bài toán phụ :

+) Số chính phương lẻ chia 8 dư 1 :

Ta có : \(\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\) chia 8 dư 1. 

+)  Một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1. 

Ta có : \(\left(2k\right)^2=4k^2⋮4\) nên khi chia 4 có số dư là 0.

\(\left(2k+1\right)^2=4k\left(k+1\right)+1\) chia 4 dư 1.

Có: 2n+2017=a^2 (1)        (a,b ∈N)

      n+2019=b^2  (2)   

Từ (1)⇒ a lẻ ⇒ a=2k+1 (k∈N)

 (1) trở thành 2n+2017=(2k+1)^2

                    ⇔ n+1008=2k(k+1)

Vì k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp ⇒ k(k+1) chia hết cho 2 

⇒ n+1008 chia hết cho 4 ⇒n chia hết cho 4 (vì 1008 chia hết cho 4)

Vì n chia hết cho 4 ⇒ b lẻ ⇒b=2h+1 (h∈N)

(2) trở thành n+2019=(2h+1)^2

                    ⇔n+2018=4(h^2+h) (3)

Có: n chia hết cho 4, 2018 không chia hết cho 4

⇒ n+2018 không chia hết cho 4

mà 4(h^2+h) chia hết cho 4

Nên (3) vô lý

Vậy không tồn tại n thỏa mãn

Lời giải:
Đặt $n+31=a^2$ với $a$ tự nhiên. Khi đó: $2n+5=2(a^2-31)+5=2a^2-57$
Như vậy, ta cần tìm $a$ sao cho $2a^2-57$ là số chính phương.

Ta có 1 tính chất quen thuộc: Số chính phương lẻ chia 8 dư $1$ (bạn có thể xét 1 scp $x^2$ và xét các TH $x=4k+...$ để cm)

$\Rightarrow 2a^2-57\equiv 1\pmod 8$

$\Rightarrow 2a^2\equiv 58\pmod 8$

$\Rightarrow a^2\equiv 29\equiv 5\pmod 8$

(điều này vô lý do scp chia 8 dư 0,1 hoặc 4)

Vậy không tồn tại số tự nhiên $a$, tức là không tồn tại số $n$ cần tìm.

Đặt \(2n+2017=a^2;n+2019=b^2\)

\(\Rightarrow2n+4038=2b^2\)

\(\Rightarrow2b^2-a^2=2021\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2b}-a\right)\left(\sqrt{2b}+a\right)=2021=1\cdot2021=47\cdot43\)

Tự xét nốt nha

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2019}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2019}\)

\(\Leftrightarrow2019a+2019b-ab=0\)

\(\Leftrightarrow ab-2019a-2019b=0\)

\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-2019}+\sqrt{b-2019}\)

\(\Leftrightarrow a+b=a-2019+b-2019+2\sqrt{\left(a-2019\right)\left(b-2019\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab-2019a-2019b+2019^2}=2\cdot2019\)

\(\Leftrightarrow2\cdot2019=2\cdot2019\) ( LUÔN OK THEO COOL KID ĐZ )

P/S:SORRY NHA.LÚC CHIỀU BẬN VÀI VIỆC NÊN KO ONL DC:(((