⇒ T = ( 2015 + 2015² ) + ( 2015³ + 2015⁴ ) + .... + ( 2015²⁰¹⁵ + 2015²⁰¹⁶ )

⇒ T = 2015.( 1 + 2015 ) + 2015³.( 1 + 2015 ) + ..... + 2015²⁰¹⁵.( 1 + 2015 )

⇒ T = 2015.2016 + 2015³.2016 + 2015⁵.2016 + ... + 2015²⁰¹⁵.2016

⇒ T = 2016.( 2015 + 2015³ + 2015⁵ + .... + 2015²⁰¹⁵ )

Vì 2016 ⋮ 2016 nên A ⋮ 2016 ( đpcm )

A = (n + 2015)(n + 2016) + n² + n

= (n + 2015)(n + 2015 + 1) + n(n + 1)

Tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

=> (n + 2015)(n + 2015 + 1) chia hết cho 2

      n(n + 1) chia hết cho 2

=> (n + 2015)(n + 2015 + 1) + n(n + 1) chia hết cho 2

=> A chia hết cho 2 với mọi n \(\in\) N (đpcm)

a, - { -(2016 +2015) - [ - (2016 - 2015) - (2016+2015) ] }

= -{-(2016+2015)-[-0-0]}

= -{-4031-0-0}

=-4031

Bài 2 :

b) x/y = 9/7 => x/9 = y/7 => x/27 = y/21    (1)

y/f = 3/7  => y/3 = f/7  => y/21 = f/49   (2)

Từ (1) và (2) => x/27 = y/21 = f/49 

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau:

(tự làm)

c) x/y = 7/20 => x/7 = y/20       (1)

y/f= 5/8 => y/5 = f/8 => y/20 = f/32    (2)

Từ (1) và (2) => x/7 = y/20 = f/32 

=> 2x/14 = 5y /100 = 2f/64 

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau:

(phần còn lại......tự xử)

Ko làm mất tính tổng quát, giả sử a >= b >= c.

Ta có: \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}\) + \(\frac{b^{2016}}{c+a-b}\) + \(\frac{c^{2016}}{a+b-c}\)- ( a²⁰¹⁵ + b²⁰¹⁵ + c²⁰¹⁵ )                      \(\left(1\right)\)

= \(\left(\frac{a^{2016}}{b+c-a}-a^{2015}\right)\)+ \(\left(\frac{b^{2016}}{c+a-b}-b^{2015}\right)\)+ \(\left(\frac{c^{2016}}{a+b-c}-c^{2015}\right)\)

= \(\frac{2a^{2016}-a^{2015}\left(b+c\right)}{b+c-a}\)+ \(\frac{2b^{2016}-b^{2015}\left(a+c\right)}{c+a-b}\)+ \(\frac{2c^{2016}-c^{2015}\left(a+b\right)}{a+b-c}\)

= \(\frac{a^{2015}\left(2a-b-c\right)}{b+c-a}\)+ \(\frac{b^{2015}\left(2b-a-c\right)}{c+a-b}\)+ \(\frac{c^{2015}\left(2c-a-b\right)}{a+b-c}\)

- Theo bđt tam giác và điều giả sử, cm được biểu thức vừa thu được >= 0 và dấu = xra <=> a = b = c.

Do đó, (1) lớn hơn = 0 => ta có đpcm.

Vậy..........

- Tớ ko nghĩ bài làm của tớ đúng đâu. Nếu sai mong bạn thông cảm!

ta có : \(\frac{a+2016}{a-2016}=\frac{b+2015}{b-2015}\)

=> \(\frac{a+2016}{b+2015}=\frac{a-2016}{b-2015}\)

=> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a+2016}{b+2015}=\frac{a-2016}{b-2015}=\frac{a+2016+a-2016}{b+2015+b-2015}=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}\)

=> \(\frac{a+2016}{b+2015}=\frac{a}{b}\)

=> b(a+2016)=a(b+2015)

=>ba+b.2016= ab+a.2015

=>b.2016=a.2015 ( Rút gọn 2 vế với ab)

=>\(\frac{b}{2015}=\frac{a}{2016}\left(đpcm\right)\)

Nếu: \(\frac{a+2016}{a-2016}\)= \(\frac{b+2015}{b-2015}\)

(a + 2016).(b - 2015) = (b + 2015).(a - 2016)

a.b - 2015.a + 2016.b - 2015.2016 = b.a - 2016.b + 2015.a - 2015.2016

2a.2015 = 2b.2016

a.2015 = b.2016 

Thì: \(\frac{a}{2016}\)= \(\frac{b}{2015}\)

C/m dạng tổng quát \(\frac{a^{n+1}}{b+c-a}+\frac{b^{n+1}}{c+a-b}+\frac{c^{n+1}}{a+b-c}\ge a^n+b^n+c^n\left(n\ge1\right)\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c>0\)

Suy ra \(\frac{a}{b+c-a}\ge\frac{b}{c+a-b}\ge\frac{c}{a+b-c}\)

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có: 

\(Σ\frac{a^{n+1}}{b+c-a}=Σa^n\cdot\frac{a}{b+c-a}\ge\frac{1}{3}Σa^n\cdotΣ\frac{a}{b+c-a}\geΣa^n\)