Cho a_1;a_2;a_3;....;a_n0 thỏa mãn a_1+a_2+a_3+...+a_nn.CMR:frac{a_1}{1+a_2^2}+frac{a_2}{1+a_3^2}+....+frac{a_n}{1+a_1^2}gefrac{n}{2} Giảifrac{a_1}{1+a_2^2}frac{a_1left(1+a_2^2right)-a_1a_2^2}{1+a_2^2}ge a_1-frac{a_1a_2^2}{2a_2}a_1-frac{a_1a_2}{2}Tương tự cộng vế theo vế ta được:Sigmafrac{a_1}{1+a_2^2}geSigma a_1-left(frac{a_1a_2}{2}+frac{a_2a_3}{2}+....+frac{a_na_1}{2}right)Mà Sigma a_1n nên ta cần cm frac{1}{2}...
Đọc tiếp
Cho \(a_1;a_2;a_3;....;a_n>0\) thỏa mãn \(a_1+a_2+a_3+...+a_n=n\).CMR:
\(\frac{a_1}{1+a_2^2}+\frac{a_2}{1+a_3^2}+....+\frac{a_n}{1+a_1^2}\ge\frac{n}{2}\)
Giải
\(\frac{a_1}{1+a_2^2}=\frac{a_1\left(1+a_2^2\right)-a_1a_2^2}{1+a_2^2}\ge a_1-\frac{a_1a_2^2}{2a_2}=a_1-\frac{a_1a_2}{2}\)
Tương tự cộng vế theo vế ta được:
\(\Sigma\frac{a_1}{1+a_2^2}\ge\Sigma a_1-\left(\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_2a_3}{2}+....+\frac{a_na_1}{2}\right)\)
Mà \(\Sigma a_1=n\) nên ta cần cm \(\frac{1}{2}\left(a_1a_2+a_2a_3+....+a_na_1\right)\le\frac{n}{2}\) ( cái này e chịu ạ,ai giúp e với!)