Đặt \(A=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=k^3\left(k-1\right)-7k^2\left(k-1\right)+16k\left(k-1\right)-10\left(k-1\right)\)

\(=\left(k-1\right)\left(k^3-7k^2+16k-10\right)\)

\(=\left(k-1\right)\left[k^2\left(k-1\right)-6k\left(k-1\right)+10\left(k-1\right)\right]\)

\(=\left(k-1\right)^2\left(k^2-6k+10\right)\)

Để A là số chính phương thì \(k^2-6k+10\) là số chính phương hoặc \(\orbr{\begin{cases}k-1=0\\k^2-6k+10=0\end{cases}}\)

-Nếu k² - 6k + 10 là số chính phương thì ta đặt \(k^2-6k+10=t^2\left(t\in Z\right)\)

\(\Rightarrow\left(k-3\right)^2+1=t^2\)

\(\Rightarrow\left(k-3\right)^2-t^2=-1\)

\(\Rightarrow\left(k-t-3\right)\left(k+t-3\right)=-1\)

Vì k,t là số nguyên nên ta có: 

\(TH1:\hept{\begin{cases}k-t-3=-1\\k+t-3=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k-t=2\\k+t=4\end{cases}\Rightarrow k=\left(2+4\right):2=3}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}k-t-3=1\\k+t-3=-1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k-t=4\\k+t=2\end{cases}\Rightarrow}k=\left(4+2\right):2=3\)

-Nếu \(\orbr{\begin{cases}k-1=0\\k^2-6k+10=0\end{cases}}\)

Mà \(k^2-6k+10=\left(x-3\right)^2+1>0\forall x\)

\(\Rightarrow k-1=0\Rightarrow k=1\) (thỏa mãn)

Vậy \(k\in\left\{1;3\right\}\)

Đặt \(B=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=\left(k^4-2k^2+1\right)-8k\left(k^2-2k+1\right)+9k^2-18k+1\)

\(=\left(k^2-1\right)^2-8k\left(k-1\right)^2+9\left(k-1\right)^2\)

\(=\left(k-1\right)^2\left[\left(k-3\right)^2+1\right]\)

Vì B là SCP

\(\Rightarrow\left(k-1\right)^2=0\)hoặc \(\left(k-3\right)^2+1\)là SCP

\(TH1:\left(k-1\right)^2=0\Rightarrow k-1=0\Rightarrow k=1\)

\(TH2:\left(k-3\right)^2+1\)

Đặt \(\left(k-3\right)^2+1=n^2\left(n\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2-\left(k-3\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(n-k+3\right)\left(n+k-3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-k+3=1\\n+k-3=1\end{cases}}\)

hoặc \(\hept{\begin{cases}n-k+3=-1\\n-k+3=-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=1;k=3\\n=-1;k=3\end{cases}}\Rightarrow k=3\)

Vậy ....

Dễ dàng CM được (k2−4k+3)2≤A2<(k2−4k+6)2 
Do đó A2=(k2−4k+3)2 hoặc A2=(k2−4k+4)2hoặc A2=(k2−4k+5)2 
Từ đó tìm được k=1 hoặc k=3

Ta có:

\(k^4-8k^3+23k^2-26k+10=\left(k-1\right)^2\left(k^2-6k+10\right)\)

Dễ thấy: \(\left(k-1\right)^2\) là số chính phương nên để \(k^4-8k^3+23k^2-26k+10\) là SCP thì \(k^2-6k+10\) phải là SCP

Đặt \(k^2-6k+10=n^2\) thì \(\left(n-k+3\right)\left(n+k-3\right)=1\)

Mà k nguyên suy ra \(k=3\)

\(k=3\)

K= 3 nha bạn