b, nếu n=0 thì n⁴ -  n  +2=2(loại)

nếu n=1 thì n⁴ -  n  +2=2(loại)

nếu n=2 thì n⁴ -  n  +2=16(nhận)

nếu n>=3 thì n⁴-n+2>(n²)²-2n+1=(n²-1)²  

n⁴-n+2<(n²)² (vì n>=3 nên -n+2<0)

suy ra (n²-1)²  <n⁴-n+2<(n²)² suy ra n>=3 ko là số cp

vậy n=2

Để S là số chính phương

\(\Rightarrow2^n+1=k^2\Rightarrow2^n=k^2-1=\left(k-1\right).\left(k+1\right)\)

\(\text{Vì }2^n\text{ chẵn }\Rightarrow\left(k-1\right).\left(k+1\right)\text{ chẵn }\)=> k-1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp. 

Dễ thấy 2ⁿ =2.2..2 ( n chữ số 2)

Mà k-1 và k+1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp (hơn kém nhau 2 đơn vị) => k-1=2 và k+1=4 <=> k=3

=> 2ⁿ+1=3²=9 => 2ⁿ=8 <=> n=3

Vậy n=3

sửa dòng 2:=>  Đặt 2ⁿ+1=k²

Để \(n^2-n+2\) là số chính phương \(\Leftrightarrow n^2-n+2=a^2\left(a\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow4n^2-4n+8=4a^2\)

\(\left(4n^2-4n+1\right)+7=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2+7=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2-\left(2a\right)^2=-7\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-2a-1\right)\left(2n+2a-1\right)=-7\)

=> 2n - 2a - 1 và 2n + 2a - 1 là ước của - 7

Đến đây liệt kê ước của - 7 rồi xét các TH !!!

a) Đặt n³ - n + 2 = k²

<=>    n(n² -1) +2 = k²

<=>    (n-1)n(n+1) +2 = k²

Mà (n-1)n(n+1) là 3 STN liên tiếp => (n-1)n(n+1) chia hết cho 3 

Mà không có số chính phương nào chia 3 dư 2

=>  (n-1)n(n+1) +2 = k² (vô lý)

Vậy n= {O}

a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

cho tớ hỏi số chính phương là gì