Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:

\(\frac{x^6}{y^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{x^8y^2}{y^2}}=2x^4\)

\(\frac{y^6}{x^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{y^8x^2}{x^2}}=2y^4\)

Cộng từng các BĐT trên:

\(\frac{x^6}{y^2}+2x^2y^2+\frac{y^6}{x^2}\ge2x^4+2y^4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+x^4+y^4+y^4-2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4+\left(x^2-y^2\right)^2\ge x^4+y^4\)

Vậy \(\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=-y\end{cases}}\))

\(a)\) \(\frac{x^2y-xy}{x-1}=xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{xy\left(x-1\right)}{x-1}=xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(xy=xy\) ( đpcm ) 

\(b)\) \(\frac{x^2-y^2}{x^2+xy^2}=\frac{x-y}{x}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{x^2+xy^2}=\frac{x-y}{x}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{x^2+xy^2}=\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x\left(x+y\right)=x^2+xy^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+xy=x^2+xy^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(xy=xy^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(y=y^2\) ( đề sai hay mình sai =.= ) 

Chúc bạn học tốt ~ 

a, \(\frac{x^2y-xy}{x-1}=\frac{xy\left(x-1\right)}{x-1}=xy\)

b,Sửa đề \(\frac{x^2-y^2}{x^2+xy}=\frac{x-y}{x}\)

 \(\frac{x^2-y^2}{x^2+xy}=\frac{x^2-xy+xy-y^2}{x\left(x+y\right)}=\frac{x\left(x-y\right)+y\left(x-y\right)}{x\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{x\left(x+y\right)}=\frac{x-y}{x}\)

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn. Viết đề như trên khó theo dõi quá.

\(\Leftrightarrow x^2-2.3.x+9+1=\left(x-3\right)^2+1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2\ge0\\1>0\end{cases}}\Rightarrow\left(x-3\right)^2+1>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2.\frac{3}{2}.x+\frac{9}{4}+\frac{7}{4}=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\\\frac{7}{4}>0\end{cases}}\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow2.\left(x^2+xy+y^2+1\right)=x^2+2xy+y^2+x^2+y^2+2=\left(x+y\right)^2+x^2+y^2+2\)

ta có \(\left(x+y\right)^2\ge0,x^2\ge0,y^2\ge0,2>0\Rightarrow\left(x+y\right)^2+x^2+y^2+2>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2.1x+1+y^2+2.2.y+4+3\)\(=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+3\)

Ta có \(=\left(x-y\right)^2\ge0,\left(x-1\right)^2\ge0,\left(y+2\right)^2\ge0,3>0\)\(\Rightarrow=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+3>0\)

T i c k cho mình 1 cái nha mới bị trừ 50 đ

\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Áp dụng BĐT cô si ,ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x\cdot y}{y\cdot x}}=2\)

Vậy ta được đpcm

ta có:

\(a+\frac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge2\)

Vì a và 1/a cùng dấu nên 2 căn (a*1/a) lớn hơn 0 nha