Với số tự nhiên \(n\ge2\) bất kì, gọi \(N=1.2.3...n\left(n+1\right)\)

Xét các số \(N+2,N+3,...,N+n+1\), ta thấy:

\(N+2=1.2.3...n\left(n+1\right)+2⋮2\) nên \(N+2\) là hợp số.

\(N+3=1.2.3...n\left(n+1\right)+3⋮3\) nên \(N+3\) là hợp số.

...

\(N+n+1=1.2.3...n\left(n+1\right)+n+1⋮n+1\) nên \(N+n+1\) là hợp số.

 Vậy \(N+i\) là hợp số với mọi \(2\le i\le n+1\). Có tất cả \(n\) số \(N+i\), suy ra đpcm.

Xét dãy các số: $\left(n+1\right)!+2,\left(n+1\right)!+3,...,\left(n+1\right)!+n+1$.

Có $\left(n+1\right)!+k⋮k$mà $\left(n+1\right)!+k>k$nên số đó là hợp số. 

 =>Vậy dãy số trên gồm toàn hợp số. 

Có. Nếu lấy A = 2.3.4....2015.2016.2017, thì  A chia hết cho 2, 3, ..., 2015, 2016, 2017.

Và dãy 2015 số bắt đầu từ A+2 đều là hợp số:

A + 2; A + 3; ....; A + 2015; A + 2016; A + 2017

Bởi vì A + 2 chia hết cho 2

A + 3 chia hết cho 3 

.....

A + 2015 chia hết cho 2015

A + 2016 chia hết cho 2016

A + 2017 chia hết cho 2017

1) cho 2005 số đó là 2006!+2,2006!+3,2006!+4,...,2006!+2006

Ta thấy 2006!+2 chia hết cho 2

             2006!+3 chia hết cho 3

             2006!+4 chia hết cho 4

             .....................................

             2006!+2006 chia hết cho 2006

Vậy cả 2005 số trên đều là hợp số

-> điều phải chứng minh

mk chỉ biết cm thôi 

Gọi 2020 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là  a, a+1,a+2,...,a+2020 (a thuộc N)

Tổng của 2020 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là a+a+1+a+2+...+a+2020

=a.2020+(1+2+3+...+2020)

(Vì có 2020 số liên tiếp)

*Tính tổng 1+2+3+...+2020

Số số hạng là:

(2020-1):1+1=2020

Tổng là :

(2020+1).2020:2=2041210

Vậy tổng của 2020 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là: 2020a+2041210

Vì 2020 là hợp số=>2020a là hợp số.

Mà 2041210 là hợp số

=>2020a+2041210 là hợp số.

Vậy luôn tồn tại 2020 số tự nhiên liên tiếp là hợp số.