Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(3n-13, n-1)$

$\Rightarrow 3n-13\vdots d; n-1\vdots d$

$\Rightarrow 3(n-1)-(3n-13)\vdots d$

$\Rightarrow 10\vdots d\Rightarrow d=1,2,5,10$

Để phân số trên tối giản thì $d\neq 2,5,10$

Điều này xảy ra khi $n-1\not\vdots 2$ và $n-1\not\vdots 5$

$\Leftrightarrow n\neq 2k+1$ với mọi $k$ là số nguyên bất kỳ và $n\neq 5m+1$ với $m$ là số nguyên bất kỳ.

Chú ý rằng, phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là ±1.

a) Gọi d là ước chung của n + 7 và n + 6. Ta chứng minh d = ±1 bằng cách xét hiệu (n + 7) - (n + 6) chia hết cho d.

b) Gọi d là ước chung của 3n + 2 và n +1. Ta chứng minh d = ±1 bằng cách xét hiệu (3n + 2) - 3.(n +1) chia hết cho d.

M =  \(\dfrac{3n+19}{n-1}\)

M \(\in\)N* ⇔ 3n + 19 ⋮ n - 1

           ⇔ 3n - 3 + 22 ⋮ n - 1

         ⇔ 3( n -1) + 22 ⋮ n - 1

         ⇔ 22 ⋮ n - 1

        ⇔  n - 1 ⋮ \(\in\){ -22; -11; -2; -1; 1; 2; 11; 22}

        ⇔ n \(\in\) { -21; -10; -1; 0; 2; 3; 12; 23}

          Vì n \(\in\) N* ⇒ n \(\in\) {0; 2; 3; 12; 23}

b, Gọi d là ước chung lớn nhất của 3n + 19 và n - 1

Ta có:  \(\left\{{}\begin{matrix}3n+19⋮d\\n-1⋮d\end{matrix}\right.\) 

        ⇒  \(\left\{{}\begin{matrix}3n+19⋮d\\3n-3⋮d\end{matrix}\right.\)

     Trừ vế cho vế ta được: 

           3n + 19 - (3n - 3) ⋮ d

       ⇒ 3n + 19 - 3n + 3 ⋮ d

       ⇒ 22 ⋮ d 

Ư(22) = { - 22;  -11; -2; -1; 1; 2; 22}

⇒ d \(\in\) {1; 2; 11; 22}

nếu n chẵn 3n + 19 lẻ; n - 1 lẻ => d không chia hết cho 2, không chia hết cho 22

nếu n # 11k + 1 => n - 1 # 11k => d không chia hết cho 11

Vậy để phân số M tối giản thì

n \(\in\) Z = { n \(\in\) Z/ n chẵn và n # 11k + 1 ; k \(\in\)Z}

Ta có: \(A=\frac{6n-1}{3n+2}=\frac{6n+4-5}{3n+2}=2-\frac{5}{3n+2}\). Để A có giá trị nhỏ nhất (n thuộc N) thì \(\frac{5}{3n+2}\) đạt giá trị lớn nhất.

-> 3n+2 đạt giá trị tự nhiên nhỏ nhất

-> 3n đạt giá trị tự nhiên nhỏ nhất

-> n là số tự nhiên nhỏ nhất

-> n = 0

theo mình thì đúng rùi

nhưng nếu n =0 thì giá trị của M sẽ là -0,5. Mình nghĩ n = 1 thì giá trị của M sẽ la 1.Bạn nào thấy đúng thì k cho mink nha