\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Ba số trên là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 ( Ví dụ : 1.2.3= 6 chia hết cho 6 )

\(\Rightarrow n^3-n⋮6\)

n^3 - n 

= n( n^2 - 1 )

Xét 2 trường hợp :

1 . n là số chẵn

ð  n( n^2 – 1 ) chia hết cho 2

2 . n là số lẽ

=>  n^2 – 1 là số chẵn

=>  n( n^2 – 1 ) chia hết cho 2

Vậy n^3 – n chia hết cho 2

Có n^3 – n = n( n^2 – 1 ) = n( n + 1 )( n – 1 )

Vì n , n + 1 và n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

=>  n^3 – n chia hết cho 3

Vì n^3 – n cùng chia hết cho cả 3 và 2

=>  n^3 – n chia hết cho 6

n/3 + n^2/2 + n^3/6

= 2n/6 + 3n^2/6 + n^3/6

= 2n + 3n^2 + n^3 / 6

= ( 2n + 2n^2 )  + ( n^2 + n^3 ) / 6 ( Tách 3n^2 = n^2 + 2n^2 )

= 2n( n + 1 ) + n^2( n + 1 ) / 6

= ( n + 1 )( 2n + n^2 ) / 6

= n( n + 1 )( n + 2 ) / 6

Vì n , n+1 và n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

=>  n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 3

Trong 3 số nguyên liên tiếp luôn tồn lại 1 số chẵn

=> n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 2

Vì n( n + 1 )( n + 2 ) cùng chia hết cho 2 và 3

=> n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 6

=> n( n + 1 )( n + 2 ) = 6k ( k\(\in Z\))

Vậy n(n + 1 )( n + 2 )/6 = 6k/6 = k hay chúng luôn nguyên .

\(n^3+12n^2-n+6\)

\(=n\left(n^2-1\right)+12n^2+6\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n^2+6\)

Ta thấy biểu thức này luôn chia hết cho 6 vì :

n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 ( tích 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6)

12n² và 6 luôn chia hết cho 6 với mọi n

Từ đó ta suy ra được tổng của 3 số chia hết cho 6 luôn chia hết cho 6

\(\Rightarrow\)đpcm

M = 4x² + 4x = 4x(x+1) luôn chia hết cho 4

https://olm.vn/hoi-dap/detail/195347678157.html

(2n+3)^2-9

=4n^2+12n

=4( n^2+3n) chia hết cho 4

Cam on

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+5n-n^2+n+6\)

\(=6n+6=6\left(n+1\right)⋮6\forall n\in Z\)

VT = x^2 + 5x - ( x^2 - x -6)

= x^2 + 5x - x^2 + x +6

= 6x +6 = 6.(x+1) chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên

Ta có n(n+5)-(n-3)(n+2)=n²+5n-(n²-3n+2n-6)

                                         =n²+5n-n²+3n-2n+6

                                        =6n+6

Tổng trên có hai hạng tử mà mỗi hạng tử đều chia hết cho 6 nên tổng chia hết cho 6

Vậy n(n+5)-(n-3)(n+2) luôn luôn chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên