Đặt : \(\hept{\begin{cases}a=\frac{3-\sqrt{37}}{2}\\b=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=3\\ab=7\end{cases}\Rightarrow}a,b}\)là nghiệm của PT : \(x^2-3x-7=0\)

Ta cần chứng minh : \(\left(\frac{3-\sqrt{37}}{2}\right)^n+\left(\frac{3+\sqrt{37}}{2}\right)^n=a^n+b^n\in Z\)( * )

Thật vậy :

 \(+n=1\)( * ) đúng

Giả sử * đúng vs n = k nghĩa là : \(a^k+b^k\in Z\)

Vậy ta cần CM : \(a^{k+1}+b^{k+1}\in Z\)

Do \(a^{k+1}+b^{k+1}=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{k-1}+b^{k-1}\right)\)

Mà \(\hept{\begin{cases}a^k+b^k\in Z\\a^{k-1}+b^{k-1}\in Z\\ab\in Z\end{cases}}\Rightarrow a^{k+1}+b^{k+1}\in Z\)

Vậy * đúng với mọi n nguyên dương

ĐỀ THIẾU số mũ 2010 kìa 
Đặt \(a=\frac{3-\sqrt{37}}{2},b=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\)
Có \(\hept{\begin{cases}ab=-14\in Z\\a+b=3\in Z\end{cases}}\)
ta đi c/m bổ đề vs a+b nguyên, ab nguyên  thì a^n+b^n nguyên, 
c/m:Có \(a^n+b^n=\left(a+b\right)^n-\text{ C1n a^(n-1)b + C2n a^(n – 2)b^2 + … + Cnn – 1 ab^(n – 1) }\)
Do a+b nguyên , ab nguyên nên a^n+b^n nguyên
áp dụng bài toán trên với n=2010 => dpcm
với Cnn là tổ hợp châp n của n với n chyaj từ 1 đến n

#o0o I am a studious person o0o

Phép quy nạp của bạn có 2 lỗi

+Lỗi 1: Cần giả sử (*) đúng với \(\hept{\begin{cases}n=k\\n=k-1\end{cases}}\)thì ở dưới mới được dùng

+Lỗi 2: Khi đã giả sử với 2 số n như trên, cần đưa ra (*) đúng với 2 số bất kì liên tiếp, chẳng hạn n = 1; 2 

a) 35 000 ; 36 000 ; 37 000 ; 38 000 ; 39 000 ; 40 000 ; 41 000.

b) 169 700 ; 169 800 ; 196 900 ; 170 000 ; 170 100 ; 170 200 ; 170 300.

c) 83 260 ; 83 270 ; 83 280 ; 83 290 ; 83 300 ; 83 310 ; 83 320.

2007^2009 có tận cùng là: 2009:4 dư 1 => 2007^2009 tận cùng là 7

2013^1999 có tận cùng là: 1999:4 dư 3 => 2013^1999 tận cùng là 7

=> 2007^2009 - 2013^1999 chia hết cho 10 và là 1 so thực

=> N=0,7.10.k=7k là 1 số nguyên

=> N là số nguyên

Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa mũ 4n sẽ có tận cùng là 1

\(\Rightarrow43^{43}=43^{4.10+3}=\left(....1\right).\left(.....7\right)=\left(....7\right)\)

Số có tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa mũ 4n sẽ có tận cùng là 1

\(\Rightarrow17^{17}=17^{4.4+1}=\left(....1\right).\left(....7\right)=\left(...7\right)\)

\(\Rightarrow43^{43}-17^{17}=\left(....7\right)-\left(....7\right)=\left(....0\right)\)

Vậy \(-0,7.\left(43^{43}-17^{17}\right)\)là 1 số nguyên

ta có 43⁴ đồng dư với 1(mod 10)=>43⁴⁰ đồng dư với 1¹⁰,43³ đồng dư với 7 (mod10)=> 43⁴⁰ * 43³ đồng dư với 1*7=7(mod10)

cs 17⁴ đồng dư với 1(mod 7)=> 17¹⁶ đồng dư với 1 mod 7; 7 đồng dư vơi 7 mod 10=>17¹⁷ đồng dư với 7 mod 10

=>43⁴³-17¹⁷  đồng dư với 7-7=0 mod 10 =>  43⁴³-17¹⁷  chia hết cho 10=> đpcm

Trần Hoàng Bách chỉ cm sai đề, bn đag cm \(43^{43}-17^{17}\)

chia hết cho 10 nhé

1. Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k=>a=bk,c=dk\)

Thay vào 2 vế là sẽ CM được

1. Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k>a=bk.c=dk\)

Thay vào 2 vế để chứng minh

1 ) 

Ta có : 

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)(  Áp dụng t/c DTSBN ) 

\(\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\left(1\right)\)

Lại có : \(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{3a^2}{3c^2}=\frac{2b^2}{2d^2}=\frac{3a^2+2b^2}{3c^2+2d^2}\) (  Áp dụng t/c DTSBN )  \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\frac{3a^2+2b^2}{3c^2+2d^2}\left(đpcm\right)\)

2 ) 

Ta có : 

\(x+y+2xy=83\)

\(\Rightarrow2\left(x+y+2xy\right)=166\)
\(\Rightarrow2x+2y+4xy+1=167\)

\(\Rightarrow2x\left(2y+1\right)+\left(2y+1\right)=167\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)=167\)

Do \(x;y\in Z\)
\(\Leftrightarrow2x+1;2y+1\in Z\)
\(\Leftrightarrow2x+1;2y+1\in\left\{\pm1;\pm167\right\}\)

Ta có bảng sau : 

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;83\right),\left(83;0\right),\left(-1;-84\right),\left(-84;-1\right)\right\}\)