Với \(n=0\Rightarrow A=0\)

Với \(n\ne0\)

Xét \(p=2\)thì ta có:

\(A=n^4+4n^3=n^2\left(n^2+4n\right)\)

Vì A là số chính phương nên 

\(\Rightarrow n^2+4n=x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2\right)^2-x^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2+x\right)\left(n+2-x\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2+x,n+2-x\right)=\left(1,4;4,1;2,2;-1,-4;-4,-1;-2-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(n,x\right)=\left(-4,0\right)\)

Xét \(p\ge3\) thì ta có \(p+1=2k+4\left(k\ge0\right)\)

\(A=n^4+4n^{2k+4}=n^4\left(1+4n^{2k}\right)\)

Vì A là số chính phương nên 

\(\Rightarrow1+n^{2k}=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(y-n^k\right)\left(y+n^k\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(y-n^k;y+n^k\right)=\left(1,1;-1,-1\right)\)

Không có giá trị \(n\ne0\)thỏa mãn cái trên

Vậy ......

chết lộn đề , 4n^(p-1) 

n.n có trên 2 ước là 1, n và n.n và các ước khác

Ta có : n.n-n+1

= n²+n-2n+1

=n(n+1) -2n+1

Vì n+1 chia hết cho n+1 => n(n+1) chia hết cho n+1

Để n.n-n+1 chia hết cho n+1

=> 1-2n  phải chia hết cho n+1

=>1-2n / n+1 phải thuộc Z

ta lại có : \(\frac{1-2n}{n+1}=\frac{-2n-2+3}{n+1}=\frac{-2\left(n+1\right)+3}{n+1}=-2+\frac{3}{n+1}\)

để \(-2+\frac{3}{n+1}\) \(\in Z\)

=> \(\frac{3}{n+1}\in Z\)hay \(n+1\in\text{Ư}_{\left(3\right)}\)

bạn tự tính nốt nhé !

câu 1 . ko biết 

câu 2 . neu p > 3 thi dung la p^2 se la 1 so le 
trong day so nguyen to chi co duy nhat 1 so chan do la 2 
suy ra p^2 + 2003 se la 1 so chan (le + le bang chan ) 
tu do suy ra p^2+2003 la hop so

1, Ta có:

n.n = n²

Ta thấy 1 số chính phương chỉ chia 3 dư 0 hoặc 1 nên n² chia 3 dư 0 hoặc 1

Mà n không chia hết cho 3 => n² không chia hết cho 3

=> n² chia 3 dư 1 hay n.n chia 3 dư 1 (ĐPCM)

1)Vì n không chia hết cho 3 nên n có dạng: 3k+1;3k+2

nên n*n=(3k+1)(3k+1)=3k(3k+1)+3k+1=9k²+3k+3k+1=9k²+6k+1(chia 3 dư 1)

nên n*n=(3k+2)(3k+2)=3k(3k+2)+2(3k+2)=9k²+6k+6k+4=9k²+2k+4(chia 3 dư 1 vì 4 chia 3 dư 1)

Vậy với n không chia hết cho 3 thì n*n chia 3 dư 1

2)Vì p là số nguyên tố>3 nên p² là hợp số(vì chia hết cho p)

nên p²+2003 là hợp số