Đây là toán nâng cao chuyên đề chia hết, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

         Bài 1: CM A = n² + n + 6 ⋮ 2 

+ TH1: Nếu n là số chẵn ta có: n = 2k (k \(\in\) N)

  Khi đó: A = (2k)² + 2k + 6 

              A = 4k² + 2k + 6

             A =  2.(2k² + k + 3)  ⋮ 2

+ TH2: Nếu n là số lẻ ta có: n²; n đều là số lẻ

         Suy ra n² + n là chẵn vì tổng của hai số lẻ luôn là số chẵn

            ⇒  A = n² + n + 6 là số chẵn 

                A = n² + n + 6 ⋮ 2

+ Từ các lập luận trên ta có: A = n² + n + 6 ⋮ 2 \(\forall\) n \(\in\) N

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp quy nạp toán học như sau:

Bài 2: CM:  A = n³ + 5n ⋮6 ∀ \(n\) \(\in\) N

          Với n = 1 ta có: A = 1³ + 1.5 

                A = 1 + 5 = 6 ⋮ 6

          Giả sử A đúng với n = k (k \(\in\) N)

          Khi đó ta có: A  = k³ + 5k ⋮ 6 \(\forall\) k \(\in\) N ⁽¹⁾

          Ta cần chứng minh A = n³ + 5n ⋮ 6 với n = k  + 1

          Tức là ta cần chứng minh: A = (k + 1)³ + 5.(k + 1) ⋮ 6

Thật vậy với n = k + 1 ta có: 

       A = (k  + 1)³ + 5(k + 1) 

      A = (k  +1).(k  + 1)(k + 1) + 5.(k  +1)

     A = (k² + k + k  +1).(k + 1) + 5k  +5

     A =  [k² + (k + k) + 1].(k + 1) + 5k + 5

    A = [k² + 2k + 1].(k + 1) + 5k + 5

   A = k³ + k² + 2k² + 2k + k  +1  +5k  +5

   A  = (k³ + 5k) + (k² + 2k²) + (2k + k) + (1 + 5) 

    A = (k³ + 5k) + 3k² + 3k + 6

   A = (k³ + 5k) + 3k(k +1) + 6

   k.(k  +1) là tích của hai số liên tiếp nên luôn chia hết cho 2

 ⇒ 3.k.(k + 1) ⋮ 6 ⁽²⁾

     6 ⋮ 6 ⁽³⁾

Kết hợp (1); (2) và (3) ta có:

    A = (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⋮ 6 ∀ k \(\in\) N

Vậy A = n³ + 5n ⋮ 6 \(\forall\) n \(\in\) N (đpcm) 

                           Bài 3: 

Đây là toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tích, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

                               Giải:

A = (n + 2013²⁰¹²).( n + 2012²⁰¹³)

TH1: Nếu n  là số chẵn ta có:

    2012 là số chẵn nên 2012²⁰¹³ là số chẵn suy ra n + 2012¹³ là số chẵn. Mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2

Vậy A = (n + 2013²⁰¹²).(n + 2012²⁰¹³) ⋮ 2 \(\forall\) n là số chẵn (1)

TH2: Nếu n là số lẻ ta có:

   2013 là số lẻ nên 2013²⁰¹² là số lẻ khi đó ta có 

  n + 2013²⁰¹² là số chẵn vì tổng của hai số lẻ là một số chẵn mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2

Vậy A = (n + 2013²⁰¹²).(n + 2012²⁰¹³) ⋮ 2 \(\forall\) n là số lẻ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

A = (n + 2013²⁰¹²).(n + 2012²⁰¹³) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N

Không thể chứng minh \(16^5+2^{14}⋮33\) đơn giản là vì \(16^5+2^{14}⋮̸33,16^5+2^{14}\div33=32271.514515\)

Xin phép sửa đề thành 16⁵ + 2¹⁵ ạ :)

Ta có 16⁵ + 2¹⁵ = ( 2⁴ )⁵ + 2¹⁵

                          = 2²⁰ + 2¹⁵

                          = 2¹⁵.2⁵ + 2¹⁵.1

                          = 2¹⁵( 2⁵ + 1 )

                          = 2¹⁵.33 \(⋮\)33 ( đpcm )

16⁵ + 2¹⁴ = (2⁴)⁵ + 2¹⁴ = 2²⁰ + 2¹⁴ = 2¹⁴(2⁶ + 1)=  2¹⁴ . 65 \(⋮\)65 không chia hết cho 33 -> đề sai

Nếu sửa lại thì đề như vậy : Chứng minh rằng : 16⁵ + 2¹⁵ chia hết cho 33 thì mới chia hết được nhé

a) 8⁷ - 2¹⁸ = ( 2³ )⁷ - 2¹⁸

                  = 2²¹ - 2¹⁸

                  = 2¹⁸( 2³ - 1 )

                  = 2¹⁸.7

                  = 2¹⁷.14 \(⋮\)14( đpcm )

b) 16⁷ - 4¹² = ( 2⁴ )⁷ - ( 2² )¹²

                    = 2²⁸ - 2²⁴

                    = 2²⁴( 2⁴ - 1 )

                    = 2²⁴.15

                    = 2²³.30 \(⋮\)30( đpcm )

Mình chỉ làm được 1 cách thôi ;-;

   Xét: 11⁶ - 11⁵ + 11⁴ 

= 11⁴ . 11² - 11⁴ . 11 + 11⁴ 

= 11⁴ . ( 11² - 11 + 1 )  \(⋮\)11 ( vì 11⁴ \(⋮\)11 )

Vậy: 11⁶ - 11⁵ + 11⁴   \(⋮\)11 ( đpcm )

   Xét: 16⁵ + 2¹⁹ - 8⁶

= ( 2⁴ )⁵ + 2¹⁹ - ( 2³ )⁶

= 2²⁰ + 2¹⁹ - 2¹⁸

= 2¹⁸ . 2² + 2¹⁸ . 2 - 2¹⁸ . 1

= 2¹⁸ . ( 2² + 2 - 1 )

= 2¹⁸ . 5

= 2¹⁷ . 2 . 5

= 2¹⁷ . 10 \(⋮\)10 ( vì 10 \(⋮\)10 )

Vậy:  16⁵ + 2¹⁹ - 8⁶  \(⋮\)10  ( đpcm )

16⁵+2¹⁹-8⁶

=2²⁰+2¹⁹-2¹⁸=2¹⁸(2²+2-1

=2¹⁸.5 chia hết cho 10

câu kia thì dễ rồi

lam cau kia di