Ngồi tick kiếm "tiền"

Ngồi làm mất thời gian

AI thấy đúng thì tick nhé!!!

Lời giải:

Biến đổi:

\(P=(x+y)(y+z)(x+z)+xyz=xy(x+y)+yz(y+z)+xz(z+x)+3xyz\)

\(\Leftrightarrow P=(x+y+z)(xy+yz+xz)\)

Với \(x+y+z\vdots 6\Rightarrow P\vdots 6(1)\)

Giả sử \(x,y,z\) đều là các số nguyên lẻ, khi đó \(x+y+z\) lẻ thì không thể chia hết cho $6$ (vô lý)

Do đó , phải tồn tại ít nhất một trong ba số \(x,y,z\) là số chẵn

\(\Rightarrow 3xyz\vdots 6(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow Q=P-3xyz\vdots 6\)

Ta có đpcm

\(P=x^3\left(z-y^2\right)+y^3\left(x-z^2\right)+z^3\left(y-x^2\right)+xyz\left(xyz-1\right)\)

\(P=-x^3\left(y^2-z\right)-y^3\left(z^2-x\right)-z^3\left(x^2-y\right)+xyz\left(xyz-1\right)\)

Thay x² - y = a ; y² - z = b ; z² - x = c

\(P=-x^3b-y^3c-z^3a+xyz\left(xyz-1\right)\)

\(P=-x^3b-y^3c-z^3a+x^2y^2z^2-xyz\left(1\right)\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y=a\\y^2-z=b\\z^2-x=c\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

\(\Rightarrow abc=\left(x^2-y\right)\left(y^2-z\right)\left(z^2-x\right)\)

\(\Rightarrow abc=x^2y^2z^2-ay^2z^2+abz^2-bz^2x^2+bcx^2-zx^2y^2+cay^2-xyz\)

\(\Rightarrow abc=x^2y^2z^2-az^2\left(y^2-b\right)-bx^2\left(z^2-c\right)-cy^2\left(x^2-a\right)-xyz\)

Thay (2) vào ta được:

\(abc=x^2y^2z^2-az^2.z-bx^2.x-cy^2.y-xyz\)

\(\Rightarrow abc=-az^3-bx^3-cy^3+x^2y^2z^2-xyz\)

Mà \(P=-az^3-bx^3-cy^3+x^2y^2z^2-xyz\) ( Theo 1 )

\(\Rightarrow P=abc\)

Vậy P không phụ thuộc vào biến x

Ta có: x+y-z=y+z-x <=> 2x=2z => x=z

Lại có: y+z-x=z+x-y <=> 2x=2y => x=y

=> x=y=z

Do x+y-z=xyz => x=x³ => x(x²-1)=0 <=> x(x-1)(x+1)=0

=> x₁=y₁=z₁=0   ;  x₂=y₂=z₂​=1 ;   x₃=y₃=z₃​=-1