Được bạn nhé :"))))

Ủng hộ mình = cách theo dõi mình nha

a+b+c=0

\(\left(a+b+c\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\left(3a^2b+3ab^2+3abc\right)+\left(3a^2c+3ac^2+3abc\right)+\left(3bc^2+3b^2c+3abc\right)-3abc=0\)\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b+c\right)+3ac\left(a+b+c\right)+3bc\left(a+b+c\right)-3abc=0\)\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

mk ko chắc cách bn đúng nhưng cách của mk là phù hợp nhất đó

Không nên chứng minh như thế này nhé. Ở ngay phần \(a+b=\frac{3abc}{-3ab}\) đã sai sót vì bạn không tính đến trường hợp \(a=0\) hoặc $b=0$ đã thực hiện phép chia như vậy.

Sử dụng hằng đẳng thức: \((a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\) ta có:

\(a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3\)

Vì \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\). Thay vào biểu thức trên:

\((a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=-c^3+3abc+c^3=3abc\)

Do đó:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Ta có: a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> (a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc = 0

<=> (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³ - 3abc = 0

<=> (a + b + c)[(a + b)² - (a + b)c + c²) - 3ab(a + b + c) = 0

<=> (a + b + c)(a²  + 2ab + b² - ac - bc + c² - 3ab) = 0

<=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(loại\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<= > (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²) = 0

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)<=> a = b = c

Khi đó: B = \(\frac{a^2+a^2+a^2}{\left(a+a+a\right)^2}=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{3a^2}{9a^2}=\frac{1}{3}\)

ta có a³+b³+c³=3abc <=> a³+b³+c³-3abc=0

<=> (a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc=0

<=> (a+b+c)³-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)=0

<=> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0

<=> a²+b²+c²-ab-bc-ca=0 (vì a+b+c=0)

<=> (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

<=> a=b=c

khi đó \(B=\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{\left(a+a+a\right)^2}=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{1}{3}\)

tham khảo nhé

vào trang cá nhân của mình đi mà, mình có trả lời r đó

Ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0.\)

\(A=\frac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^2}\)

Ta có

\(\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=\)

\(=\left(ab+bc+ac\right)\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2-abbc-bcac-abac\right]=0\)

\(\Rightarrow\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

\(\Rightarrow A=\frac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=3\)

ta có: a³ + b³ + c³ = 3abc

=> a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c).(a² + b² + c² - ab - bc -ac) = 0

mà a + b + c khác 0

=> a² + b² + c² - ab - bc - ac  = 0

=> a = b = c

\(\Rightarrow A=\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{\left(a+a+a\right)^2}=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{3a^2}{3^2.a^2}=\frac{1}{3}.\)

Câu 1:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3abc\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow0=0\) Đúng (Đpcm)

​Áp dụng Bđt Cô si 3 số ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu = khi a=b=c (Đpcm)

Câu 2

Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3\cdot\frac{1}{abc}\)

Ta có:

\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{abc}{c^3}+\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}\)

\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

\(=abc\cdot3\cdot\frac{1}{abc}=3\)

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow A=\left(1-\frac{b+c}{b}\right)\left(1-\frac{a+c}{c}\right)\left(1-\frac{a+b}{a}\right)\)

\(=\left(1-1-\frac{c}{b}\right)\left(1-1-\frac{a}{c}\right)\left(1-1-\frac{b}{a}\right)\)

\(=\left(-\frac{c}{b}\right)\left(-\frac{a}{c}\right)\left(-\frac{b}{a}\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0\Leftrightarrow a=b=c\)

\(\Leftrightarrow A=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)