Ta có \(A=\overset{2n}{11...1}+\overset{n}{44...4}+1\)

\(A=\dfrac{1}{9}.\overset{2n}{99...9}+\dfrac{4}{9}.\overset{n}{99...9}+1\)

\(A=\dfrac{1}{9}\left(10^{2n}-1\right)+\dfrac{4}{9}\left(10^n-1\right)+1\)

\(A=\dfrac{10^{2n}-1+4.10^n-4+9}{9}\)

\(A=\dfrac{\left(10^n\right)^2+4.10^n+4}{9}\)

\(A=\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\) 

 Dễ thấy \(10^n+2⋮3\) vì có tổng các chữ số là 3 nên \(\dfrac{10^n+2}{3}\inℕ^∗\). Vậy A là số chính phương (đpcm)

Ta dễ dàng chứng minh được công thức: \(111...1=\frac{10^n-1}{9}\)

(n số 1)

Áp dụng công thức trên ta có:

\(a+b+1=111...1.10^n+111...1+111...1.4+1\)

(n số 1) (n số 1) (n số 1)

\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4\right)+1\)

\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4+3\right)-\frac{10^n-1}{9}.3+1\)

\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+8\right)-\frac{10^n-1}{3}+1\)

\(=111...1.3.333...36-333...3+1\)

(n số 1) (n - 1 số 3) (n số 3)

\(=333...3.333...36-333...32\)

(n số 3)(n - 1 số 3)(n - 1 số 3)

\(=333...3.333...34+333...3+333...3-333...32\)

(n số 3)(n - 1 số 3)(n số 3) (n số 3) (n - 1 số 3)

\(=333...34^2\), là số chính phương (đpcm)

(n - 1 số 3)

Tớ hướng dẫn câu A thui, mấy câu còn lại làm tương tự

A = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9(10 chữ số 9)

Ta để ý: 9 = 10¹ - 1

              99 = 10² - 1 

              999 = 10³ - 1

..... 

99..9(10 chữ số 9) = 10¹⁰ - 1

Công thức tổng quát: \(\overline{aa...aa}=\frac{a}{9}\left(10^n-1\right)\) với n là số chữ số của aa..aa

Suy ra tổng A = 10¹ + 10² + 10³ + ... + 10¹⁰ - 10

=> A = 11111111110 - 10 = 111111111100

B,C làm tương tự với công thức tổng quát

a+b+1 = 111..11_(2n) +444...44_(n) + 1 =111...11_(n).10ⁿ + 111...11_(n) +4.111..11_(n) +1

                                                       = 111...11_(n).(10ⁿ-1)  +6.111..11_(n) +1 

                                                      = 333...33²_(n) +2.333...33_(n) +1  = ( 333.....3_(n)+1)²   dpcm