Ta có: 5M - M = 5^2001 - 1

              4M   = 5^2001 - 1

(4M+1)  = 5^2001

Ta có : 5^2001 * 2^2010

 5^2001 = .....25 ( số tự nhiên)

2^2010 = (2^20)^100 * 2^10

           =   76^100 * 1024

           = ....76( số tự nhiên) * 1024

           = ......24

 Vay 5^2001 * 2^2010 = ....25 * ....24

                                = .....00 chia het cho 2 va 4

Vậy số trên là số chính phương.

TA CÓ:

A=3⁰+3+3²+3³+........+3¹¹

(3⁰+3+3²+3³)+....+(3⁸+3⁹+3¹⁰+3¹¹)

3(0+1+3+3²)+......+3⁸(0+1+3+3²) 

3.13+....+3⁸.13 cHIA HẾT CHO 13 NÊN A CHIA HẾT CHO 13( đpcm)

Ta có:

Xét số a. Ta có a² > (a - 1)(a + 1)

Thật vậy, (a - 1)(a + 1) = a(a + 1) - (a + 1) = a² + a - a - 1 = a² - 1 < a²

Suy ra \(\dfrac{1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}>\dfrac{1}{a^2}\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\)

\(< \dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{99.101}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{101}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}\right)\)

\(< \dfrac{3}{4}\)

Ko bt có sai chỗ nào ko....

Có:1/2^2+1/3^2+...+1/20^2<1/1*2+1/2*3+...+1/19*20=1-1/20=19/20<1

Co 1/2^2+1/3^2+...+1/100^2<1/1.2+1/2.3+...+1/99.100

                                           =1-1/2+1/2-1/3+...+1/99-1/100

                                          =1-1/100<1

vay 1/2^2+...+1/100^2<1

Ta thấy: \(\frac{1}{2^2}