1.A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁵⁹ + 2⁶⁰

Xét .dãy số: 1; 2; 3; 4; .... 59; 60 Dãy số này có 60 số hạng vậy A có 60 hạng tử.

vì 60 : 2 = 30 nên nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào một nhóm thì ta được:

A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) +...+ (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2.(1 + 2) + 2³.(1 +2) +...+ 2⁵⁹.(1 +2)

A =2.3 + 2³.3  + ... + 2⁵⁹.3

A =3.( 2 + 2³+...+ 2⁵⁹)

Vì 3 ⋮ 3 nên A = 3.(2 + 2³ + ... + 2⁵⁹)⋮3 (đpcm)

áp dụng công thức là ra :))))

2, M = 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺² ⋮ 6

   M = 3ⁿ⁺¹.(3² + 1) + 2ⁿ⁺².(2 + 1) 

    M = 3ⁿ.3.(9 + 1) + 2ⁿ⁺¹.2 . 3

    M = 3ⁿ.30 + 2ⁿ⁺¹.6

   M = 6.(3ⁿ.5 + 2ⁿ⁺¹)

   Vì 6 ⋮ 6 nên M = 6.(3ⁿ.5+ 2ⁿ⁺¹) ⋮ 6 (đpcm)

bài này dễ

  3ⁿ⁺³+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³+2ⁿ⁺²

=3ⁿ.3³+3ⁿ.3+2ⁿ.2³+2ⁿ.2²

=3ⁿ.(3³+3)+2ⁿ.(2³+2²)

=3ⁿ.(27+3)+2ⁿ.(8+4)

=3ⁿ.30+2ⁿ.12

vì 3ⁿ.30 chia hết cho 6

   2ⁿ.12 chia hết cho 6

=> 3ⁿ⁺³+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³+2ⁿ⁺² chia hết cho 6

Cho xin phép sửa đề lại :

CMR : \(3^{n+3}+2^{n+1}+3^{n+1}+2^{n+2}⋮6\)

Ta có : \(3^{n+3}+2^{n+1}+3^{n+1}+2^{n+2}=3^n\cdot3^3+2^n\cdot2+3^n\cdot3+2^n\cdot2^2\)

\(=3^n\cdot27+2^n\cdot2+3^n\cdot3+2^n\cdot4\)

\(=3^n\left(27+3\right)+2^n\left(2+4\right)\)

\(=3^n\cdot30+2^n\cdot6=6\left(5\cdot3^n+2^n\right)⋮6\)(đpcm)

Còn nếu có hai phần 2ⁿ⁺² thì nó chia hết cho 2 chứ không phải chia hết cho 6

=3ⁿ.(3³+3)+2ⁿ.(2³+2²)

=3ⁿ.30+2ⁿ.12

=6.(3ⁿ.5+2ⁿ.2) chia het cho 6 voi moi n

=>dpcm

Ta cóA= 3ⁿ⁺³+2ⁿ⁺³+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=3ⁿ.27+2ⁿ.8+3ⁿ.3+2ⁿ.4=3ⁿ.(27+3)+2ⁿ.(8+4)=3ⁿ.30+2ⁿ.12

Vì 30 chia hết cho 6 ,12 chia hết cho 6 suy ra 3ⁿ.30 chia hết cho 6,2ⁿ.12 chia hết cho 6 

suy ra 3ⁿ.30+2ⁿ.12 chia hết cho 6

suy ra A chia hết cho 6

Ta có :

3^{n + 2} + 3^{n + 1} + 2^{n + 3} + 2^{n + 2}

= 3ⁿ . 3² + 3ⁿ . 3 + 2ⁿ . 2³ + 2ⁿ . 2²

= 3ⁿ (3² + 3) + 2ⁿ (2³ + 2²)

= 3ⁿ . 12 + 2ⁿ . 12

= 12 (3ⁿ . 2ⁿ)

Mà 12 ⋮ 6 ⇒ đpcm

Ta có:3ⁿ⁺³+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³+2ⁿ⁺²=3ⁿ⁺¹(3²+1)+2ⁿ⁺²(2+1)=10.3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²3=3.2.(5.3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹)chia hết cho 6

Vậy...

\(1^2+2^2+...+n^2=1+2\left(1+1\right)+...+n\left(n-1+1\right)=1+2+1.2+3+2.3+...+n+\left(n-1\right)n\)

\(=\left(1+2+3+...+n\right)+\left[1.2+2.3+...+\left(n-1\right)n\right]=\dfrac{\left(n+1\right)\left(\dfrac{n-1}{1}+1\right)}{2}+\dfrac{1.2.3+2.3.3+...+\left(n-1\right)n.3}{3}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+...+\left(n-1\right)n\left[\left(n+1\right)-\left(n-2\right)\right]}{3}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{1.2.3-1.2.3+2.3.4-...-\left(n-2\right)\left(n-1\right)n+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}=\dfrac{3n\left(n+1\right)+2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}=\dfrac{2n^3+3n^2+n}{6}=\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n=\dfrac{1}{3}n\left(n^2+\dfrac{3}{2}n+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{3}n\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\left(n+1\right)\)