- nếu n = 1 thì Q=1(chọn)

- nếu n=2 thì Q=3(loai)

- nếu n=3 thì Q=9=3²(chọn)

- nếu n =4 thì Q= 33(loại)

- nếu n lớn hơn hoặc bằng 5 thì Q=1!+2!+3!+4!+...+n!

                                                Q=33+5!+...+n!

các số kể từ 5! trở đi trong tích đều chứa cặp thừa số 2 và 5 nên mỗi giai thừa có chữ số tận cùng là 0 

 => 33+...0=...3

số chính phương không có tận cùng 3 nên Q không phải số chính phương 

=> a lớn hơn hoặc bằng 5 bị loại

vậy n = 1 hoặc 3

Lời giải:

Dùng pp kẹp thôi:

Đặt biểu thức đã cho là $A$

Xét \(n=0\) không thỏa mãn.

Xét \(n\geq 1\)

Với \(n\in\mathbb{N}\) thì:\(A=n^4+2n^3+2n^2+n+7=(n^2+n)^2+n^2+n+7>(n^2+n)^2\)

Mặt khác, xét :

\(A-(n^2+n+2)^2=-3n^2-3n+3<0\) với mọi \(n\geq 1\)

\(\Leftrightarrow A< (n^2+n+2)^2\)

Như vậy \((n^2+n)^2< A< (n^2+n+2)^2\), suy ra để $A$ là số chính phương thì

\(A=(n^2+n+1)^2\Leftrightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=(n^2+n+1)^2\)

\(\Leftrightarrow -n^2-n+6=0\Leftrightarrow (n-2)(n+3)=0\)

Suy ra \(n=2\)