a) Với n=1 thì \(7^{^{ }3}+8^3\) chia hết cho \(7^2-56+8^2nên\) chia hết cho 19

Giả sử \(7^{k+2}+8^{k+2}\) chia hết cho 19 (k >_ 1)

Xét \(7^{k=3}+8^{2k+3}=7.7^{k+2}+64.8^{2k+1}=7.\left(7^{k+2}+8^{2k+1}\right)+57.8^{2k+1}\) chia hết cho 19

Muộn rồi b chiều tớ hứa là sẽ làm 4h30' chiều

b)Với n=1 thì 1+6+11+6 =24 chia hết cho 24

Giả sử \(k^4+6k^3+11k^2+6k\) chia hết cho 24 (k >_ 1)

Xét: \(\left(k+1\right)^4+6.\left(k+1\right)^3+11.\left(k+1\right)^2+6.\left(k+1\right)\)

        =( \(k^4+6k^3+11k^2+6k\)) + 24.(\(k^2+1\))+4.\(\left(k^3+11k\right)\)

Ta thấy hai số hạng đầu chia hết cho 24.Phải chứng minh 4.\(\left(k^3+11k\right)\)chia hết cho 24,tức là chứng minh \(k^3+11k\) chia hết cho 6.Điều này được chứng minh một cách dễ dàng.

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

Lời giải:

$2^3\equiv -1\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n}\equiv (-1)^{2n}\equiv 1\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n+2}=2^{6n}.4\equiv 4\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n+2}=9k+4$ với $k$ tự nhiên.

Vì $2^{6n+2}$ chẵn nên $9k$ chẵn $\Rightarrow k$ chẵn.

Khi đó:
\(2^{2^{6n+2}}+3=2^{9k+4}+3\)

$2^9\equiv -1\pmod {19}$

$\Rightarrow 2^{9k}\equiv (-1)^k\equiv 1\pmod {19}$ (do $k$ chẵn)

$\Rightarrow 2^{9k+4}\equiv 16\pmod {19}$

$\Rightarrow 2^{2^{6n+2}}+3=2^{9k+4}+3\equiv 16+3\equiv 19\equiv 0\pmod {19}$

Vậy $2^{2^{6n+2}}+3\vdots 19$

bài này dùng đồng dư nha bạn

mình nghĩ bạn chưa học đâu

thật ra mình cũng chưa học nhung nếu bạn thật sự tò mò hãy tra mạng nhé

\(7\times5^{2n}+12\times6^n\)

\(=7\times25^n-7\times6^n+19\times6^n\)

\(=7\left(25^n-6^n\right)+19\times6^n\)

Vậy \(7\times5^{2n}+12\times6^n⋮19\)

Chúc bạn học tốt