Lời giải:

$A=5+5^2+5^3+(5^4+5^5+5^6+5^7)+(5^8+5^9+5^{10}+5^{11})+...+(5^{2012}+5^{2013}+5^{2014}+5^{2015})$

$=(1+5+5^2+5^3)+5^4(1+5+5^2+5^3)+5^8(1+5+5^2+5^3)+...+5^{2012}(1+5+5^2+5^3)-1$

$=(1+5+5^2+5^3)(1+5^4+5^8+...+5^{2012})-1$

$=156(1+5^4+...+5^{2012})-1$

$=13.12(1+5^4+...+5^{2012})-1$

$\Rightarrow A$ chia $13$ dư $-1$

Hay $A$ chia $13$ dư $12$

.................

2017⁴ⁿ có tận cùng là 1 ; 2015ⁿ có tận cùng là 5.

Ta có: A = 2017²⁰¹⁶-2015²⁰¹⁴ = 2017^4.504-2015²⁰¹⁴ = (...1)-(...5) = (...6)

A có chữ số tận cùng là 6 nên khi chia A cho 5 sẽ dư 1

mewing

Câu 1 :

a) Ta có : S=5+5²+5³+...+5²⁰⁰⁶

5S=5²+5³+5⁴+...+5²⁰⁰⁷

\(\Rightarrow\)5S-S=(5²+5³+5⁴+...+5²⁰⁰⁷)-(5+5²+5³+...+5²⁰⁰⁶)

\(\Rightarrow\)4S=5²⁰⁰⁷-5

\(\Rightarrow S=\frac{5^{2007}-5}{4}\)

b) Ta có : S=5+5²+5³+...+5²⁰⁰⁶

=(5+5³)+(5²+5⁴)+...+(5²⁰⁰⁴+5²⁰⁰⁶)

=5(1+5²)+5²(1+5²)+...+5²⁰⁰⁴(1+5²)

=5.26+5².26+...+5²⁰⁰⁴.26\(⋮\)26

Vậy S\(⋮\)26

Câu 2 :

Gọi số cần tìm là : a. Điều kiện : a\(\in\)N*.

Vì a chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư 3 và chia cho 6 dư 4 nên ta có ; a-1\(⋮\)3 ; a-2\(⋮\)4 ; a-3\(⋮\)5 và a-4\(⋮\)6

\(\Rightarrow\)a-1+3\(⋮\)3 ; a-2+4\(⋮\)4 ; a-3+5\(⋮\)5 ; a-4+6\(⋮\)6

\(\Rightarrow\)a+2 chia hết cho cả 3, 4, 5 và 6

\(\Rightarrow\)a+2\(\in\)BC(3,4,5,6)

Ta có : 3=3

            4=2²

            5=5

            6=2.3

\(\Rightarrow\)BCNN(3,4,5,6)=2².3.5=60

\(\Rightarrow\)BC(3,4,5,6)=B(60)={0;60;120;180;240;300;...}

\(\Rightarrow\)a\(\in\){-2;58;118;178;238;298;358;418;...}

Mà theo đề bài, a nhỏ nhất và chia hết cho 11

\(\Rightarrow\)a=418

Vậy số cần tìm là 418