Lê Minh Cường

Cm \(\sqrt{5}\)là số vô tỉ

    Giải

Giả sử \(\sqrt{5}\)là số vô tỉ thì khi đó \(\sqrt{5}\) được viết dưới dạng \(\frac{m}{n}\)

\(\sqrt{5}=\frac{m}{2}\Rightarrow5=\frac{m^2}{n^2}\)   ( * ) 

Ở đẵng thức ( * ) cm m² \(⋮\) 5 => m \(⋮\)5

Đặt m = 5k ta có : m² = 25k²        ( **) 

Từ ( * ) và ( ** ) suy ra : 

5n² = 25k² => n² = 5k²                           ( ***) 

Đẳng thức ( ***) cm n² \(⋮\)5 mà 5 là số nguyên tố nên n \(⋮\)5

Vậy m,n chia hết cho 5 nên \(\frac{m}{n}\) chưa thể tối giản ( trái với gt ) nên \(\sqrt{5}\) là số hữu tỉ. 

P/s : có 1 câu hỏi mà bảo dài dòng tek!?

VD: \(\sqrt{5}\)là số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{5}=\frac{a}{b}\left(a,b\in z;b\ne0\right)\)

Tổng quát VD \(\left(a;b\right)=1\)

\(\Rightarrow5=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2=5b^2\)

\(\Rightarrow a^2⋮5\)

Ta có : 5 số nguyên tố

\(\Rightarrow a⋮5\)

\(\Rightarrow a^2⋮25\)

\(\Rightarrow5b^2⋮25\)

\(\Rightarrow b^2⋮5\)

\(\Rightarrow b⋮5\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\)

\(\Rightarrow\)giả sử bị sai

\(\Rightarrow\sqrt{5}\)là số vô tỷ

thanks nha I have a crazy idea

tương tự ví dụ 11, trang 22, Sách Nâng cao và phát triển Toán 7,

giả sử √7 là số hữu tỉ 
=> √7 = p/q , với p, q thuộc N*, (p,q) = 1 
=> 7 = p²/q² => q² = p²/7 => p² chia hết cho 7, mà 7 nguyên tố => p chia hết cho 7 
đặt p = 7n, thay vào trên ta có: q² = 49n²/7 = 7n² => n² = q²/7 
=> q² chia hết cho 7, do 7 nguyên tố => q chia hết cho 7 
thấy p và q đều chia hết cho 7: vô lí do giả thiết p, q nguyên tố cùng nhau 

Vậy √7 là số vô tỉ 

google nghen!

Gỉa sử \(\sqrt{15}\) là số hữu tỉ

=> \(\sqrt{15}=\frac{m}{n}\)( trong đó \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản)=> \(15=\frac{m^2}{n^2}\) hay \(15n^2=m^2\)(1)

Từ (1) => \(m^2\) chia hết cho 15 => m chia hết 15

Đặt m=15k( \(k\in Z\))=> \(m^2=225k^2\)(2)

Tứ (1);(2)=> \(15n^2=225k^2\)=> \(n^2=15k^2\)(3)

Từ (3) => \(n^2\)chia hết cho 15 => n chia hết cho 15 

=> \(\frac{m}{n}\)không phải là phân số tối giản trái với giả thiết => \(\sqrt{15}\)không phải là số hửu tỉ 

Vậy \(\sqrt{15}\)là số vô tỉ(dpcm)

​Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ, như vậy có thể viết dưới dạng phân số tối giản \({m\over n}\) tức là \(\sqrt{7} = {m \over n}\) . Suy ra \(7={m^2 \over n^2}\) hay \(7m^2=n^2\) (1)

Đảng thức (1) chứng tỏ \(m^2\vdots7\) mà 7 là số nguyên tố nên \(m\vdots7\) .

Đặt\(m=7k\)  (k∈ℤ) ta có \(m^2=49k^2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(7n^2=49k^2\) nên \(n^2=7k^2\)  (3)

Từ (3) ta lại có \(n^2\vdots7\) và vì 7 là số nguyên tố nên \(n\vdots7\) .

Như vậy m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số \({m \over n}\) không tối giản, trái với giả thiết. Vậy \(\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ, do đó \(\sqrt7\) là số vô tỉ

15=3.5 phân tích thừa số nguyên tố có số khác 2 và 5 là số vô tỉ