a + b + c =6 thì đúng hơn..

\(\Delta_1=b^2-4;\Delta_2=1-4c;\)

Do đó: \(\Delta_1+\Delta_2=b^2-3c-4c\)

Mặt khác, ta có: \(b-2c\ge2\Leftrightarrow-2c\ge2-b\Leftrightarrow-4c\ge4-2b\Leftrightarrow-3-4c\ge1-2b\)

\(\Leftrightarrow b^2-3-4c\ge b^2-2b+1=\left(b-1\right)^2\ge0\)

Hay \(\Delta_1+\Delta_2\ge0\)

Suy ra ít nhất một trong hai biệt thức \(\Delta_1,\Delta_2\)phải có ít nhất một biệt thức không âm.

Hay một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

Công thức nghiệm Vi-et

Ta giải

\(ax2+b3\cdot a2c=0,1\)

Ta có theo Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2_2+x_2=-\frac{b}{a}\\x^3_2=\frac{c}{a}\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2_2+x_2}{x_2^3}=-\frac{b}{c}=\frac{x_2+1}{x_2^2}}\)

Lại có \(\frac{b^3+a^2c+ac^2}{abc}=\frac{b^2}{ac}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\left(x_2^2+x_2\right)\frac{x_2+1}{x_2^2}-\frac{1}{x_2^2+x_2}-\frac{x_2^2}{x_2+1}\)

\(=\frac{x_2\left(x_2+1\right)^2}{x_2^2}-\frac{1}{x_2^2+x_2}-\frac{x_2^2}{x_2+1}=\frac{\left(x_2+1\right)^2}{x_2}-\frac{1}{x_2\left(x_2+1\right)}-\frac{x_2^2}{x_2+1}\)

\(=\frac{\left(x_2^2+2x_2+1\right)\left(x_2+1\right)-1-x_2^3}{x_2\left(x_2+1\right)}=\frac{x_2^3+3x_2^2+3x_2+1-1-x_2^3}{x_2^2+x_2}\)

\(=\frac{3\left(x_2^2+x_2\right)}{x_2^2+x_2}=3\)

Từ đó suy ra \(b^3+a^2c+ac^2=3abc\left(đpcm\right).\)