a, Ta có \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)

(=) \(\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)

(=) \(\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)

(=) \(\left(b-a\right).\left(a-b\right)=ab\)

Vì a,b là 2 số dương

=> \(\hept{\begin{cases}ab>0\left(1\right)\\\left(b-a\right).\left(a-b\right)< 0\left(2\right)\end{cases}}\) 

Từ (1) và (2) => Không tồn tại hai số a,b để \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)

b, Cộng vế với vế của 3 đẳng thức ta có :

\(x+y+y+z+x+z=-\frac{7}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\)

(=) \(2.\left(x+y+z\right)=-\frac{5}{6}\)

(=) \(x+y+z=\frac{-5}{12}\)

Ta có : \(x+y+z=\frac{-5}{12}\left(=\right)-\frac{7}{6}+z=-\frac{5}{12}\left(=\right)z=\frac{3}{4}\)

Lại có \(x+y+z=\frac{-5}{12}\left(=\right)x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{12}\left(=\right)x=-\frac{2}{3}\)

Lại có \(x+y+z=-\frac{5}{12}\left(=\right)y+\frac{1}{12}=-\frac{5}{12}\left(=\right)y=\frac{-1}{2}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x+y=-\frac{7}{6}\\y+z=\frac{1}{4}\\z+x=\frac{1}{12}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)=-\frac{7}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\)

\(2.\left(x+y+z\right)=-\frac{5}{6}\)

\(\Rightarrow x+y+z=-\frac{5}{12}\)

\(\Rightarrow-\frac{7}{6}+z=-\frac{5}{12}\)

\(z=-\frac{5}{12}+\frac{7}{6}\)

\(z=-\frac{5}{12}+\frac{14}{12}\)

\(z=\frac{9}{12}\)

\(z=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow x+\frac{3}{4}=\frac{1}{12}\)

\(x=\frac{1}{12}-\frac{3}{4}\)

\(x=-\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow-\frac{2}{3}+y=-\frac{7}{6}\)

\(y=-\frac{7}{6}+\frac{2}{3}\)

\(y=-\frac{1}{2}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\y=-\frac{1}{2}\\z=\frac{3}{4}\end{cases}}\)

Tham khảo nhé~

Ta có \(\frac{x-y\sqrt{2019}}{y-z\sqrt{2019}}=\frac{m}{n}\left(m,n\varepsilonℤ,\left(m,n\right)=1\right).\)

\(\Rightarrow nx-ny\sqrt{2019}=my-mz\sqrt{2019}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2019}\left(ny-mz\right).\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\ny-mz=0\end{cases}\Rightarrow}\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2.\)

Khi đó \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)

                                    \(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)

Vì   \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)(chỗ này bn tự giải chi tiết nhé, và thử lại nữa) 

Kết luận...

ảnh đẹp

\(x=\frac{a}{13},y=\frac{a+1}{13},a\inℕ^∗\)

\(x< \frac{4}{5}< y\Leftrightarrow\frac{a}{13}< \frac{4}{5}< \frac{a+1}{13}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5a}{65}< \frac{52}{65}< \frac{5a+5}{65}\)

\(\Leftrightarrow5a< 52< 5a+5\Leftrightarrow a< \frac{52}{5}< a+1\)

mà \(a\)là số nguyên nên \(a=10\).

Vậy \(x=\frac{10}{13},y=\frac{11}{13}\).

\(\Rightarrow xy.yz.xz=\left(xyz\right)^2=\frac{1}{3}.\frac{-2}{5}.\frac{-3}{10}=\frac{1}{25}\Rightarrow xyz=\frac{1}{5};\frac{-1}{5}\)

xét xyz=-1/5=>x=1/2;y=2/3;z=-3/5

xét xyz=1/5=>x=-1/2;y=-2/3;z=3/5

Vậy (x;y;z)=(1/2;2/3;-3/5);(-1/2;-2/3;3/5)

A=\(\frac{x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2}{x^2y^2z^2}\)

Ta có:\(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2=\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(xyz\right)\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(xy+yz+zx\right)^2\)(do x+y+z=0)

Do đó A=\(\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{\left(xyz\right)^2}=\left[\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}\right]^2\)

Nên A là số chính phương(ĐCCM)