Chương I: VÉC TƠ

I là điểm nào vậy

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2-4}{2}=-1\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+5}{2}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I\left(-1;3\right)\)

b.

Do C thuộc trục hoành, gọi tọa độ C có dạng \(C\left(c;0\right)\)

Do D thuộc trục tung, gọi tọa độ D có dạng \(D\left(0;d\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(c-2;-1\right)\\\overrightarrow{DB}=\left(-4;5-d\right)\Rightarrow2\overrightarrow{DB}=\left(-8;10-2d\right)\end{matrix}\right.\)

Để \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{DB}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-2=-8\\-1=10-2d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-6\\d=\dfrac{11}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(C\left(-6;0\right)\) và \(D\left(0;\dfrac{11}{2}\right)\)

xin lỗi bạn tự vẽ hình nha

theo đề bài ta có 

(tất cả đều có dấu vec tơ trên đầu nha bạn)

DF=\(\dfrac{1}{3}\)DC+\(\dfrac{2}{3}\)DA

DE=\(\dfrac{1}{2}\)DA+\(\dfrac{1}{2}\)DB==\(\dfrac{1}{2}\)DA+\(\dfrac{1}{2}\)(DC+CB)

=\(\dfrac{1}{2}\)DA+\(\dfrac{1}{2}\)DA(vì DA=CB)+\(\dfrac{1}{2}\)DC=DA+\(\dfrac{1}{2}\)DC

ta phân tích 2 vec tơ ra xong chúng ta lấy hệ số chia cho nhau ví dụ như bài trên

\(\dfrac{\dfrac{2}{3}}{1}\)=\(\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2}}\)=\(\dfrac{2}{3}\)nên 2 vec tơ cùng phương nên 3 điểm đó thẳng hàng hay

DF=\(\dfrac{2}{3}\)DE(lấy hệ số của 2 vec tơ chia cho nhau hoặc phân tích ra vecto DF=kDE)

để lại 1like cho câu trả lời và xin in4 làm quen nếu lớp 10 nha

\(\dfrac{1}{2}\)

Gọi E là giao điểm của AC và BD

Hình vẽ:

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{DM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{EB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{4}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}\right)+\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\dfrac{4}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)+\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\)

\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AB}\)

\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(1;-1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-3;4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\left(-3;5\right)\)

Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\overrightarrow{DC}=\left(1-x;5-y\right)\)

Để ABCD là hbh \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x=1\\5-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(0;6\right)\)

Bạn xem lại đề, I không thể là trung điểm AC.

Vì I là trung điểm AC, K thuộc AC nghĩa là I, K đều thuộc AC, vậy B,I,K thẳng hàng chỉ khi B cũng thuộc AC nốt (vô lý)

Gọi M là trung điểm BC và I là điểm nằm trên đoạn thẳng AM sao cho sao cho IM=2IA

\(\Rightarrow\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có: \(AM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IM=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow IA=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow IA^2=\dfrac{a^2}{12}\) 

 \(IB=IC=\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2+IM^2=\dfrac{7a^2}{12}\) 

Ta có:

\(4MA^2+MB^2+MC^2=\dfrac{5a^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow4\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^2=\dfrac{5a^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow6MI^2+4IA^2+IB^2+IC^2+2\overrightarrow{MI}\left(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=\dfrac{5a^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow6MI^2+4IA^2+IB^2+IC^2=\dfrac{5a^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow6MI^2=a^2\Rightarrow MI=\dfrac{a}{\sqrt{6}}\)

Quỹ tích M là đường tròn tâm I bán kính \(R=\dfrac{a}{\sqrt{6}}\)