Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT

Xác suất bắn trượt của 3 người lần lượt là 0,1; 0,2; 0,3

TH1: A bắn trúng 1 lần, B và C bắn trượt hết

\(P_1=C_3^1.\left(0,9\right)^1.\left(0,1\right)^2.\left(0,2\right)^3.\left(0,3\right)^3\)

TH2: A trúng 2 lần, B và C trượt hết hoặc trúng 1

\(P_2=C_3^1.\left(0,9\right)^2.\left(0,1\right)^1\left[\left(0,2\right)^3.\left(0,3\right)^3+C_3^1.\left(0,8\right)^1.\left(0,2\right)^2.C_3^1.\left(0,7\right)^1.\left(0,3\right)^2+\left(0,2\right)^3.C_3^1.\left(0,7\right)^1.\left(0,3\right)^2+\left(0,3\right)^3.C_3^1.\left(0,8\right)^1.\left(0,2\right)^2\right]\)

TH3: A trúng 3 lần, B và C trúng ít hơn 3 lần

\(P_3=\left(0,9\right)^3\left[1-\left(0,8\right)^3\right].\left[1-\left(0,7\right)^3\right]\)

Cộng 3 xác suất lại sẽ ra kết quả cần tìm

Giả sử học sinh đó làm đúng k câu thì làm sai 50-k câu

Xác suất làm đúng mỗi câu là \(\dfrac{1}{4}\) và sai là \(\dfrac{3}{4}\)

Do đó xác suất đúng k câu là:

\(C_{50}^k.\left(\dfrac{1}{4}\right)^k.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-k}\)

Xác suất lớn nhất khi: \(\left\{{}\begin{matrix}C_{50}^k.\left(\dfrac{1}{4}\right)^k.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-k}\ge C_{50}^{k+1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{k+1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{49-k}\\C_{50}^k\left(\dfrac{1}{4}\right)^k\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-k}\ge C_{50}^{k-1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{k-1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{51-k}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{50!}{k!\left(50-k\right)!}.\left(\dfrac{3}{4}\right)\ge\dfrac{50!}{\left(k+1\right)!.\left(49-k\right)!}.\left(\dfrac{1}{4}\right)\\\dfrac{50!}{k!\left(50-k\right)!}.\left(\dfrac{1}{4}\right)\ge\dfrac{50!}{\left(k-1\right)!.\left(51-k\right)!}.\left(\dfrac{3}{4}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(k+1\right)\ge50-k\\51-k\ge3k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{47}{4}\le k\le\dfrac{51}{4}\)

\(\Rightarrow k=12\)

Người đó thua khi trong 1 lần chơi có 2 con xúc sắc xuất hiện mặt nhỏ hơn 5 hoặc cả 3 con nhỏ hơn 5

\(\Rightarrow\) Xác suất thua trong 1 lần chơi là: \(\dfrac{4}{6}.\dfrac{4}{6}+\dfrac{4}{6}.\dfrac{4}{6}.\dfrac{4}{6}=\dfrac{20}{27}\)

\(\Rightarrow\) Xác suất thua cả 3 lần là: \(\left(\dfrac{20}{27}\right)^3\)

Xác suất thắng ít nhất 1 lần là: \(1-\left(\dfrac{20}{27}\right)^3\)

Gọi 3 số nguyên dương bất kì là a;b;c

Giả sử \(a+b+c=90\)

Theo nguyên lý chia kẹo Euler, pt nói trên có \(C_{90-1}^{3-1}=C_{89}^2\) nghiệm

- Số bộ nghiệm có 3 nghiệm bằng nhau là 1 (a=b=c=30)

- Số bộ nghiệm có đúng 2 nghiệm bằng nhau:

Giả sử \(a=b\Rightarrow c=90-2a\Rightarrow c\) chẵn và \(c\ne30\)

\(\Rightarrow\) có \(\dfrac{88-2}{2}=43\) số c thỏa mãn

Ứng với mỗi c có đúng 1 cặp \(a=b\)

Hoán vị abc: \(\dfrac{3!}{2!}=3\) cách

\(\Rightarrow43.3=129\) bộ nghiệm có đúng 2 nghiệm bằng nhau

\(\Rightarrow\dfrac{C_{89}^2-\left(1+129\right)}{3!}=631\) bộ 3 số có tổng bằng 90

Xác suất: \(P=\dfrac{631}{C_{90}^3}\)