Question

Cho tập hợp A={1;2;3;....;100}. Chọn ngẫu nhiên ba số thuộc A. Xác suất để chọn được ba số có tổng bằng 90 là?

Answer 1

Gọi 3 số nguyên dương bất kì là a;b;c

Giả sử \(a+b+c=90\)

Theo nguyên lý chia kẹo Euler, pt nói trên có \(C_{90-1}^{3-1}=C_{89}^2\) nghiệm

- Số bộ nghiệm có 3 nghiệm bằng nhau là 1 (a=b=c=30)

- Số bộ nghiệm có đúng 2 nghiệm bằng nhau:

Giả sử \(a=b\Rightarrow c=90-2a\Rightarrow c\) chẵn và \(c\ne30\)

\(\Rightarrow\) có \(\dfrac{88-2}{2}=43\) số c thỏa mãn

Ứng với mỗi c có đúng 1 cặp \(a=b\)

Hoán vị abc: \(\dfrac{3!}{2!}=3\) cách

\(\Rightarrow43.3=129\) bộ nghiệm có đúng 2 nghiệm bằng nhau

\(\Rightarrow\dfrac{C_{89}^2-\left(1+129\right)}{3!}=631\) bộ 3 số có tổng bằng 90

Xác suất: \(P=\dfrac{631}{C_{90}^3}\)