Tham khảo:

Giả sử bài toán đã có đầu đủ giả thuyết cần thiết rồi. (Thiếu giả thuyết nhá bác).

\(x^3+y^3+z^3\ge\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^3+\left(\dfrac{y+z}{2}\right)^3+\left(\dfrac{z+x}{2}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow6\left(x^3+y^3+z^3\right)-3\left(xy^2+xz^3+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2\right)\ge0\)

Ta có bổ đề:

\(x^3+x^3+y^3\ge3yx^2\)

Thế vô thì bài toán được chứng minh.

1 cách giải khác:

\(bdt\Leftrightarrow8\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(x+z\right)^3\)

\(\Leftrightarrow8\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)+xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow6\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+3\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)+3\left(x+z\right)\left(x^2-xz+z^2\right)\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2+3\left(y+z\right)\left(y-z\right)^2+3\left(x+z\right)\left(x-z\right)^2=0\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z\)

sao máy chủ bảo mình không được phép thi vậy

Bạn sửa nhanh giúp mình. Làm xong không noppj được. Ức quá. Tí tối đi học sợ nộp sau quá :[

Sao ko có mk

a)

\(x^3-7x-6=x^3-x-6x-6\)

\(=x(x^2-1)-6(x+1)\)

\(=x(x-1)(x+1)-6(x+1)=(x+1)[x(x-1)-6]\)

\(=(x+1)(x^2-x-6)=(x+1)[x^2-3x+2x-6]\)

\(=(x+1)[x(x-3)+2(x-3)]=(x+1)(x+2)(x-3)\)

b) \(x^3-6x^2+8x\)

\(=x(x^2-6x+8)\)

\(=x(x^2-4x-2x+8)\)

\(=x[x(x-4)-2(x-4)]=x(x-2)(x-4)\)

c) \(x^4+2x^3-16x^2-2x+15\)

\(=(x^4+2x^3-x^2-2x)-15x^2+15\)

\(=[(x^4-x^2)+(2x^3-2x)]-15(x^2-1)\)

\(=[x^2(x^2-1)+2x(x^2-1)]-15(x^2-1)\)

\(=(x^2-1)(x^2+2x)-15(x^2-1)=(x^2-1)(x^2+2x-15)\)

\(=(x^2-1)(x^2-3x+5x-15)=(x^2-1)[x(x-3)+5(x-3)]\)

\(=(x^2-1)(x+5)(x-3)=(x-1)(x+1)(x+5)(x-3)\)

d)

\(x^3-11x^2+30x=x(x^2-11x+30)\)

\(=x(x^2-5x-6x+30)\)

\(=x[x(x-5)-6(x-5)]=x(x-6)(x-5)\)

a) x³ -7x -6

=x³ -x-6x-6

= x(x² -1)-6(x-1)

= x(x-1)(x+1)-6(x-1)

=(x-1)(x² +x+6)

Lời giải:

Theo BĐT về tam giác: độ dài một cạnh tam giác thì nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AM< MP+AP\\ AM< MN+AN\end{matrix}\right.\Rightarrow 2AM< MP+MN+AP+AN\)

Dễ nhận thấy $MN,MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB; MP=\frac{1}{2}AC\)

Lại có: \(AP=\frac{1}{2}AB; AN=\frac{1}{2}AC\)

Do đó: \(2AM< \frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=AB+AC\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)

Hoàn toàn TT với \(BN, CP\) suy ra:

\(AM+BN+CP< \frac{AB+AC}{2}+\frac{BC+BA}{2}+\frac{CA+CB}{2}=AB+BC+AC\)

Ta có đpcm

c) \(xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)\)

\(=xy(x-y)-yz[(x-y)+(z-x)]+zx(z-x)\)

\(=(xy-yz)(x-y)+(zx-yz)(z-x)\)

\(=y(x-z)(x-y)+z(x-y)(z-x)\)

\(=(x-y)(z-x)(z-y)\)

d) \(x^4+4a^4=(x^2)^2+(2a^2)^2\)

\(=(x^2)^2+(2a^2)^2+2x^2.2a^2-4x^2a^2\)

\(=(x^2+2a^2)^2-(2xa)^2\)

\(=(x^2+2a^2-2ax)(x^2+2a^2+2ax)\)

e)

\(x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1\)

\(=x^2(x^3-1)+x^2+x+1\)

\(=x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\)

\(=(x^2+x+1)[x^2(x-1)+1]=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)

f)

\(x^4+2013x^2+2012x+2013\)

\(=x^4-x+2013x^2+2013x+2013\)

\(=x(x^3-1)+2013(x^2+x+1)\)

\(=x(x-1)(x^2+x+1)+2013(x^2+x+1)\)

\(=(x^2+x+1)[x(x-1)+2013]=(x^2+x+1)(x^2-x+2013)\)

a)

\((a+b+c)^2+(a+b-c)^2-4c^2\)

\(=(a+b+c)^2+(a+b-c)^2-(2c)^2\)

\(=(a+b+c)^2+(a+b-c-2c)(a+b-c+2c)\)

\(=(a+b+c)^2+(a+b-3c)(a+b+c)\)

\(=(a+b+c)(a+b+c+a+b-3c)=(a+b+c)(2a+2b-2c)\)

\(=2(a+b+c)(a+b-c)\)

b) \(x^2-y^2+2x-4y-3\)

\(=(x^2+2x+1)-(y^2+4y+4)\)

\(=(x+1)^2-(y+2)^2\)

\(=[(x+1)-(y+2)][(x+1)+(y+2)]\)

\(=(x-y-1)(x+y+3)\)

\(-27x^2+257-1200=-\left(3\sqrt{2}x-\dfrac{256}{6\sqrt{3}}\right)^2-\dfrac{16016}{27}< 0\forall x\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} xy+x+y=3\\ yz+y+z=8\\ zx+z+x=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)(y+1)=4\\ (y+1)(z+1)=9\\ (z+1)(x+1)=16\end{matrix}\right.(1)\)

Nhân 3 vế với nhau:

\(\Rightarrow [(x+1)(y+1)(z+1)]^2=4.9.16\)

\(\Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=\pm 24\)

Nếu \((x+1)(y+1)(z+1)=24(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z+1=6\\ x+1=\frac{8}{3}\\ y+1=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{5}{3}\\ y=\frac{1}{2}\\ z=5\end{matrix}\right.\)

Do đó, \(P=x+y+z=\frac{43}{6}\)

Nếu 

\((x+1)(y+1)(z+1)=-24(3)\)

Từ $(1);(3)$ suy ra \(\left\{\begin{matrix} z+1=-6\\ x+1=\frac{-8}{3}\\ y+1=\frac{-3}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z=-7\\ x=-\frac{11}{3}\\ y=\frac{-5}{2}\end{matrix}\right.\)

Do đó, \(P=x+y+z=-\frac{79}{6}\)

Đề sai.Sửa đề: \(xy+x+y=3\)

\(\left\{{}\begin{matrix}xy+x+y=3\\yz+y+z=8\\xz+x+z=15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+x+y+1=4\\yz+y+z+1=9\\xz+x+z+1=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(x+1\right)+1\left(x+1\right)=4\\y\left(z+1\right)+1\left(z+1\right)=9\\x\left(z+1\right)+1\left(z+1\right)=16\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=9\\\left(x+1\right)\left(z+1\right)=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left(x+1\right)\left(z+1\right)=576\)

\(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2=576\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=24\)

Đến đây chịu :v

Ta có:

xy+y+z=3

yz+y+z=8

xz+x+z=15

=> xy+y+z+yz+y+z+xz+x+z = 3+8+15= 26

=>xy+yz+xz + 2(y+z+x) = 26

Vì x,y,z >0 => xy>0;yz>0;xz>0 và xy+yz+xz > y+x+z

=> xy+yz+xz =3 thì y+x+z =11,5 (không hợp lý)

=> xy+yz+xz >3 thì y+z+x <11,5

Mà xy +yz +xz > y+x+z. Do đó y+z+x <3 hoặc =3

=> y+z+x =1;2;3

Không có trường hợp x+z+y =0

câu này tương đương với \(\left(2k\right)^2-\left(2k+2\right)^2⋮16\) thế \(k=1\) vào thì không thỏa mãn \(\Rightarrow\) đề sai