Bài 5: Đa thức

a: \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)+\left(3x-4\right)+2\left(x-3\right)=1\)

=>\(x+\dfrac{1}{4}+3x-4+2x-6=1\)

=>\(6x-\dfrac{39}{4}=1\)

=>\(6x=1+\dfrac{39}{4}=\dfrac{43}{4}\)

=>\(x=\dfrac{43}{4}:6=\dfrac{43}{24}\)

b: \(2\left(x-3\right)=3\left(x+2\right)-x+1\)

=>\(2x-6=3x+6-x+1\)

=>2x-6=2x+7

=>-6=7(vô lý)

c: \(x\left(x+3\right)+x\left(x-2\right)=2x\left(x-1\right)\)

=>\(x^2+3x+x^2-2x=2x^2-2x\)

=>3x-2x=-2x

=>3x=0

=>x=0

d: \(\left(x-1\right)\cdot3x-2\left(x+2\right)-2x=x\left(x-1\right)\)

=>\(3x^2-3x-2x-4-2x=x^2-x\)

=>\(3x^2-7x-4-x^2+x=0\)

=>\(2x^2-6x-4=0\)

=>\(x^2-3x-2=0\)

=>\(x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}\)

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

`a)`

`P(x) =`\(3x^2+7+2x^4-3x^2-4-5x+2x^3\)

`= (3x^2 - 3x^2) + 2x^4 + 2x^3 - 5x + (7-4)`

`= 2x^4 + 2x^3 - 5x + 3`

`Q(x) =`\(3x^3+2x^2-x^4+x+x^3+4x-2+5x^4\)

`= (5x^4 - x^4) + (3x^3 + x^3) + 2x^2 + (x + 4x)- 2`

`= 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 + 5x - 2`

`b)`

`P(-1) = 2*(-1)^4 + 2*(-1)^3 - 5*(-1) + 3`

`= 2*1 + 2*(-1) + 5 + 3`

`= 2 - 2 + 5 + 3`

`= 8`

___

`Q(0) = 4*0^4 + 4*0^3 + 2*0^2 + 5*0 - 2`

`= 4*0 + 4*0 + 2*0 + 5*0 - 2`

`= -2`

`c)`

`G(x) = P(x) + Q(x)`

`=> G(x) = 2x^4 + 2x^3 - 5x + 3 + 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 + 5x - 2`

`= (2x^4 + 4x^4) + (2x^3 + 4x^3) + 2x^2 + (-5x + 5x) + (3 - 2)`

`= 6x^4 + 6x^3 + 2x^2 + 1`

`d)`

`G(x) = 6x^4 + 6x^3 + 2x^2 + 1`

Vì `x^4 \ge 0 AA x`

    `x^2 \ge 0 AA x`

`=> 6x^4 + 2x^2 \ge 0 AA x`

`=> 6x^4 + 6x^3 + 2x^2 + 1 \ge 0`

`=> G(x)` luôn dương `AA` `x`

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

`a)`

`A(x) = \(3(x^2+2-4x)-2x(x-2)+17\)

`= 3x^2 + 6 - 12x - 2x^2 + 4x + 17`

`= x^2 - 8x + 23`

Hệ số cao nhất: `1`

Hệ số tự do: `23`

`B(x) = \(3x^2-7x+3-3(x^2-2x+4)\)

`=3x^2 - 7x + 3 - 3x^2 + 6x - 12`

`= -x - 9`

Hệ số cao nhất: `-1`

Hệ số tự do: `-9`

`b)`

`N(x) - B(x) = A(x)`

`=> N(x) = A(x) + B(x)`

`=> N(x) = (x^2 - 8x + 23)+(-x-9)`

`= x^2 - 8x + 23 - x - 9`

`= x^2 - 9x + 14`

`A(x) - M(x) = B(x)`

`=> M(x) = A(x) - B(x)`

`=> M(x) = (x^2 - 8x + 23) - (-x - 9)`

`= x^2 - 8x + 23 + x+9`

`= x^2 - 7x +32`

a)A(x) = 3(x^2 + 2 - 4x) - 2x(x - 2) + 17

           = 3x^2 + 6 - 12x - 2x^2 + 4x + 17

           = x^2 - 2x + 23

b)B(x) = 3x^2 - 7x + 3 - 3(x^2 - 2x + 4)

           = 3x^2 - 7x + 3 - 3x^2 + 6x - 12

           = -x + -9

A(x) = x^2 - 2x + 23

B(x) = -x - 9

Hệ số cao nhất của đa thức A(x) là 1, hệ số tự do của A(x) là 23.

Hệ số cao nhất của đa thức B(x) là -1, hệ số tự do của B(x) là -9.

b)

N(x) - B(x) = A(x)

N(x) - (-x - 9) = x^2 - 2x + 23

N(x) + x + 9 = x^2 - 2x + 23

N(x) = x^2 - 3x + 14

Vậy, N(x) = x^2 - 3x + 14.

A(x) - M(x) = B(x)

x^2 - 2x + 23 - M(x) = -x - 9

x^2 - 2x + x + 9 + 23 = M(x)

x^2 - x + 32 = M(x)

Vậy, M(x) = x^2 - x + 32.

a: A(x)=3x^2+6-12x-2x^2+4x+17

=x^2-8x+23

B(x)=3x^2-7x+3-3x^2+6x-12=-x-9

Hệ số cao nhất của A(x) là 1

Hệ số tự do của A(x) là 23

Hệ số cao nhất của B(x) là -1

Hệ số tự do của B(x) là -9

b: N(x)=A(x)+B(x)

=x^2-8x+23-x-9

=x^2-9x+14

M(x)=A(x)-B(x)

=x^2-8x+23+x+9

=x^2-7x+32

a: \(2\cdot f\left(3\right)=2\cdot\left(3^{19}+3^{18}+...+3+1\right)\)

Đặt B=3^19+3^18+...+3+1

=>3B=3^20+3^19+...+3^2+3

=>2B=3^20-1

=>2*f(3)=A

b: Chứng minh cái gì vậy bạn?

\(A-\left(2xy+4y^2\right)=3x^2-6xy+5y^2\\ \Leftrightarrow A=3x^2-6xy+5y^2+2xy+4y^2=3x^2-4xy+9y^2\)

Chọn A

Lời giải:
Đặt $2a=m, a+b=n$ với $m,n$ là số nguyên. Khi đó:

$a=\frac{m}{2}; b=n-\frac{m}{2}$.

Khi đó:

$f(x)=\frac{m}{2}x^2+(n-\frac{m}{2})x+c$ với $m,n,c$ là số nguyên.

$f(x)=\frac{m}{2}(x^2-x)+nx+c=\frac{m}{2}x(x-1)+nx+c$
Với $x$ nguyên thì $x(x-1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên:

$x(x-1)\vdots 2$

$\Rightarrow \frac{m}{2}x(x-1)\in\mathbb{Z}$

Mà: $nx\in\mathbb{Z}, c\in\mathbb{Z}$ với $x,m,n,c\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow f(x)\in\mathbb{Z}$

Ta có đpcm.

a: f(1)=0

=>a+b+c=0(luôn đúng)

b: f(x)=0

=>5x^2-6x+1=0

=>(x-1)(5x-1)=0

=>x=1/5 hoặc x=1