Bài 4: Phép đối xứng tâm

a: Tọa độ M' là:

x'=-x=-2 và y'=-y=-3

(d'): 3x-2y+c=0

Lấy A(4;3) thuộc (d)

=>A'(-4;-3)

Thay x=-4 và y=-3 vào (d'), ta được:

c-12+6=0

=>c=6

(C): x^2+y^2-6x+4y-3=0

=>x^2-6x+9+y^2+4y+4-16=0

=>(x-3)^2+(y+2)^2=16

=>R=4; I(3;-2)

=>I'(-3;2)

=>(C'): (x+3)^2+(y-2)^2=16

b: Tọa độ M' là;

x'=2*3-2=4 và y'=2*5-3=7

(d'): 3x-2y+c=0

Lấy A(4;3) thuộc (d) 

=>A'(2;7) 

Thay x=2 và y=7 vào (d'), ta được:

c+6-14=0

=>c=8

R=4; I(3;-2)

=>I'(3;12)

=>(C'): (x-3)^2+(y-12)^2=16

\(\overrightarrow{BA}=\left(-2;7\right)\)

(C') = (x - 2)² + (y + 4)² = 61 + 4 + 16 = 81 = 9²

Gọi I (2 ; - 4) là tâm của (C) và I' (a;b) là tâm của (C')

Do \(T_{\overrightarrow{BA}}\left[\left(C\right)\right]=\left(C'\right)\)

⇒ \(T_{\overrightarrow{BA}}\left(I\right)=\left(I'\right)\)

⇒ \(\overrightarrow{II'}=\overrightarrow{BA}=\left(-2;7\right)\)

⇒ I' (0 ; 3)

Vậy phương trình đường tròn (C') là x² + (y - 3)² = 81

M thuộc Δ nên M (t ;  - 2) với t là số thực

Sau khi thực hiện phép đối xứng qua tâm I (0 ; 1) thì M biến thành N (- t ; 4)

N nằm trên (C) nên t² + 16 = 13. Vô lí, xem lại đề bài xem có sai không bạn ơi

Do A đối xứng C qua I, B đối xứng D qua I

\(\Rightarrow\) CD đối xứng AB qua I và BC đối xứng AD qua I

Hay CD là ảnh của AB qua phép đối xứng tâm I, BC là ảnh của AD qua phép đối xứng tâm I

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là 1 điểm thuộc AB \(\Rightarrow2x-y=0\) (1)

M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I \(\Rightarrow M'\in DC\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=2.2-x\\y=2.2-y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-x'\\y=4-y'\end{matrix}\right.\) thế vào (1):

\(2\left(4-x'\right)-\left(4-y'\right)=0\Leftrightarrow-2x'+y'+4=0\Leftrightarrow2x'-y'-4=0\)

Hay pt CD có dạng: \(2x-y-4=0\)

Tương tự gọi \(N\left(x;y\right)\in AD\Rightarrow4x-3y=0\) (2)

N' là ảnh của N qua phép đối xứng tâm I

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=4-x\\y'=4-y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-x'\\y=4-y'\end{matrix}\right.\) thế vào (2):

\(4\left(4-x'\right)-3\left(4-y'\right)=0\) \(\Leftrightarrow-4x'+3y'+4=0\Leftrightarrow4x'-3y'-4=0\)

Hay pt BC: \(4x-3y-4=0\)

Gọi M là trung điểm BC, nối AO kéo dài cắt (O) tại D

Kẻ các đường cao BE, CF cắt nhau tại H

Ta có: \(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow BD\perp AB\)

Lại có \(CF\perp AB\) (giả thiết)

\(\Rightarrow BD||CF\)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(CD||BE\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác BHCD là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)

\(\Rightarrow\) Hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm các đường

Hay M cũng là trung điểm HD

Hay H đối xứng D qua M cố định

Mà tập hợp D là đường tròn (O) cố định

\(\Rightarrow\) Tập hợp H là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm M cố định

Vậy trực tâm của tam giác ABC nằm trên đường tròn cố định là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm M