§1. Đại cương về phương trình

ĐK: \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\2x-1=\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x^2=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm

\(\sqrt{2x-1}-x-1=0\) (1)

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

(1) \(\Rightarrow2x-1=\left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x-1-x^2-2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2=0\)

\(\Rightarrow\)PT vô nghiệm 

Điều kiện: \(x\ne-2,1,1\)

Từ pt trên ta có: \(\dfrac{3x-1}{x-2}-4=\dfrac{x-7}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x+1}\)

<=>\(\dfrac{-x-9}{x+2}=\dfrac{-x^2-3x-8}{x^2-1}\)

<=>\(\left(-x-9\right)\left(x^2-1\right)=\left(x+2\right)\left(-x^2-3x-8\right)\)

<=> 4x² -15x - 25=0 <=>\(\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\dfrac{-5}{4}\end{matrix}\right.\left(nhân\right)\)

Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

\(m^2-4\ne0\Rightarrow m\ne\pm2\)

\(\Rightarrow\) Có \(5-\left(-5\right)+1-2=9\) giá trị nguyên của m

ĐKXĐ: \(x\ge0;y\ge1\).

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[4]{y^3-1}=a\ge0\\\sqrt{x}=b\ge0\end{matrix}\right.\).

HPT đã cho trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^4+b^4=81\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\\left(a+b\right)^4-2ab\left(2a^2+3ab+2b^2\right)=81\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab\left(2a^2+3ab+2b^2\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3;b=0\\a=0;b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9;y=1\\x=0;y=\sqrt[3]{82}\end{matrix}\right.\).

\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(m+3\right)=m^2-6m-11>0\) (1)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=m+3\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(m-1\right)^2-2\left(m+3\right)=m^2-4m-5\)

Biểu thức này ko tồn tại cả min lẫn max với điều kiện m từ (1)

ĐKXĐ: \(x\ne1\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2+2x.\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x^2}{x-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{x}{x-1}\right)^2-\dfrac{2x^2}{x-1}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{x-1}\right)^2-\dfrac{2x^2}{x-1}-1=0\)

Đặt \(\dfrac{x^2}{x-1}=t\)

\(\Rightarrow t^2-2t-1=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+5+3\sqrt{x^2-4x+5}-2=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2+3t-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\\t=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2-4x+5=\dfrac{13-3\sqrt{17}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+\dfrac{-3+3\sqrt{17}}{2}=0\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4^2-2\left(\dfrac{-3+3\sqrt{17}}{2}\right)=19-3\sqrt{17}\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-4\ge0\\4-x\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge4\\x\le4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=4\)

Thay \(x=4\) vào pt thấy thỏa mãn

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=4\)