§3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) có dạng tổng quát là

                         \(ax+by=c\)              (1)

trong đó \(a,b,c\) là các hệ số, với điều kiện \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\).

Ví dụ: +) \(2x-3y=-1\)

          +) \(-\dfrac{\sqrt{5}}{2}x+\dfrac{1}{3}y=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\)  ; 

          +) \(-\dfrac{11}{2}x+\dfrac{7}{5}y=-\dfrac{3}{4}\)  ;  ....

Ví dụ: Xét phương trình \(2x-3y=-1\):

          Các cặp số \(\left(1;1\right)\), \(\left(-1;-\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(\left(3;\dfrac{7}{3}\right)\) ; \(\left(-1+\sqrt{3};\dfrac{1+2\sqrt{3}}{3}\right)\) ;  ... là các nghiệm của phương trình \(2x-3y=-1\).

Chú ý: 

a) Khi \(a=b=0\) ta có phương trình \(0x+0y=c\). Nếu \(c\ne0\) thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu \(c=0\) thì mọi cặp số \(\left(x_0;y_0\right)\) đều là nghiệm.

b) Khi \(b\ne0\), phương trình \(ax+by=c\) trở thành \(y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\)   (2)

Cặp số \(\left(x_0;y_0\right)\) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là 

                     \(\left\{{}\begin{matrix}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{matrix}\right.\)      (3)

Trong đó \(x,y\) là hai ẩn ; các chữ còn lại là hệ số.

Nếu cặp số \(\left(x_0;y_0\right)\) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì \(\left(x_0;y_0\right)\) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3).

Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=9\\2x+y=5\end{matrix}\right.\)  (*)

Cách 1: Giải hệ phương trình (*) bằng phương pháp thế:

Ta có: (*) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=9\\y=5-2x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-3\left(5-2x\right)=9\\y=5-2x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10x-15=9\\y=5-2x\end{matrix}\right.\)

               \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{12}{5}\\y=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{1}{5}\right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

Cách 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Ta có: (*) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=9\\6x+3y=15\end{matrix}\right.\) 

Cộng theo vế của mỗi phương trình trên ta được: \(10x=24\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{12}{5}\)

Thay \(x=\dfrac{12}{5}\) vào phương trình \(4x-3y=9\) ta được: \(y=\dfrac{4x-9}{3}=\dfrac{4.\dfrac{12}{5}-9}{3}=\dfrac{1}{5}\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{1}{5}\right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

                     \(ax+by+cz=d\) ,

trong đó \(x,y,z\) là ba ẩn; \(a,b,c,d\) là các hệ số và \(a,b,c\) không đồng thời bằng \(0\).

Ví dụ: +) \(2x-3y+z=12\)  ;

          +) \(1,3x-y+0z=1\)  ;

          +) \(0x+y-4z=7\)  ;  ...

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

               \(\left\{{}\begin{matrix}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{matrix}\right.\)      (4)

trong đó \(x,y,z\) là ba ẩn ; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số \(\left(x_0;y_0;z_0\right)\) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4).

Ví dụ:

+) Bộ ba số \(\left(\dfrac{17}{4};-\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2}\right)\) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-2z=-1\\4y+3z=\dfrac{3}{2}\\2z=3\end{matrix}\right.\) (5)

+) Bộ ba số \(\left(-\dfrac{7}{2};\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+2z=\dfrac{1}{2}\\2x+3y+5z=-2\\-4x-7y+z=-4\end{matrix}\right.\) (6)

Hệ phương trình (5) là một hệ phương trình đặc biệt, gọi là hệ phương trình dạng tam giác.

Việc giải hệ phương trình dạng này rất đơn giản. Từ phương trình cuối tính được \(z\) rồi thay vào phương trình thứ hai ta tính được \(y\) và cuối cùng thay \(z\) và \(y\) tính được vào phương trình đầu ta tính được \(x\).

Mọi hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn đều biến đổi được về dạng tam giác, bằng phương pháp khử dần ẩn số.

Chẳng hạn, ta giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+2z=\dfrac{1}{2}\\2x+3y+5z=-2\\-4x-7y+z=-4\end{matrix}\right.\) (6) như sau:

- Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ (6) với -2 rồi cộng vào phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng, nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4 rồi cộng vào phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình (đã khử \(x\) ở hai phương trình cuối):

                  \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+2z=\dfrac{1}{2}\\-y+z=-3\\y+9z=-2\end{matrix}\right.\)

Tiếp tục cộng các vế tương ứng của phương trình thứ hai và phương trình thứ ba của hệ mới nhận được, ta được một hệ phương trình tương đương dạng tam giác:

                   \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+2z=\dfrac{1}{2}\\-y+z=-3\\10z=-5\end{matrix}\right.\)

Giải hệ phương trình dạng tam giác này ta được: \(z=-\dfrac{1}{2}\) ; \(y=\dfrac{5}{2}\) ; \(x=-\dfrac{7}{2}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left(x;y;z\right)=\left(-\dfrac{7}{2};\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\).