§2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

1. Phương trình bậc nhất

Cách giải và biện luận phương trình \(ax+b=0\) được tóm tắt trong bảng sau:

Khi \(a\ne0\), phương trình \(ax+b=0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

      a) \(2x+15=0\)

      b) \(\left(x-3\right)-\left(x+5\right)=0\)

Giải:

a) \(2x+15=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=-\dfrac{15}{2}\) 

Phương trình có nghiệm duy nhất \(x=-\dfrac{15}{2}\)

b) \(\left(x-3\right)-\left(x+5\right)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x-3-x-5=0\) \(\Leftrightarrow0x-8=0\). Phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình \(m\left(x-4\right)=5x-2\) theo tham số \(m\).

Giải:

Ta có: \(m\left(x-4\right)=5x-2\) \(\Leftrightarrow\) \(mx-4m-5x+2=0\)

                                          \(\Leftrightarrow\) \(\left(m-5\right)x-4m+2=0\)   (*)

Với \(m-5=0\Leftrightarrow m=5\) :

Phương trình (*) trở thành: \(0x-4.5+2=0\Leftrightarrow0x-18=0\Leftrightarrow-18=0\) (phương trình vô nghiệm)

Với \(m-5\ne0\Leftrightarrow m\ne5\) : 

Phương trình (*) có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{4m-2}{m+5}\)

2. Phương trình bậc hai

Cách giải và biện luận một phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau:

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

      a) \(x^2-3x+5=0\) 

      b) \(2x^2+3x-5=0\)

      c) \(x^2-1=2\left(x^2+x\right)\)

Giải:

a) Xét phương trình \(x^2-3x+5=0\):

    Ta có: \(\Delta=\left(-3\right)^2-4.1.5=-11< 0\)

    Nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Xét phương trình \(2x^2+3x-5=0\)

    Ta có: \(\Delta=3^2-4.2.\left(-5\right)=49>0\)

    Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là: 

    \(x_1=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2.2}=1\) 

    \(x_2=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2.2}=\dfrac{5}{2}\)

   Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{1;\dfrac{5}{2}\right\}\)

c) Xét phương trình \(x^2-1=2\left(x^2+x\right)\):

    Ta có: \(x^2-1=2\left(x^2+x\right)\) \(\Leftrightarrow x^2+2x+1=0\)  (**)

    \(\Delta=2^2-4.1.1=0\) 

    Nên phương trình đã cho có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{2}{2.2}=-1\)

    Ta cũng có thể biến đổi phương trình (**) như sau:

    (**) \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

3. Định lí Vi-ét

Nếu phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì

        \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\)     và      \(x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\)

Ngược lại, nếu hai số \(u\) và \(v\) có tổng \(u+v=S\) và tích \(u.v=P\) thì \(u\) và \(v\) là các nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\).

II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(\left|x-3\right|=2x+1\) .

Giải:

Cách 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối:

Nếu \(x\ge3\), phương trình đã cho trở thành: \(x-3=2x+1\). Từ đó \(x=-4\)

Ta thấy \(x=-4\)  không thỏa mãn điều kiện \(x\ge3\) nên bị loại

Nếu \(x< 3\), phương trình đã cho trở thành: \(-x+3=2x+1\). Từ đó suy ra \(x=\dfrac{2}{3}\)

Ta thấy \(x=\dfrac{2}{3}\) thỏa mãn điều kiện \(x< 3\) nên là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{2}{3}\).

Cách 2: Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta đưa tới phương trình hệ quả:

      \(\left|x-3\right|=2x+1\)  \(\Rightarrow\left(x-3\right)^2=\left(2x+1\right)^2\)

                                  \(\Rightarrow x^2-6x+9=4x^2+4x+1\)

                                  \(\Rightarrow3x^2+10x-8=0\)

  Phương trình cuối có hai nghiệm là \(x=\dfrac{2}{3}\) và \(x=-4\)

  Thử lại thấy phương trình chỉ có nghiệ là \(x=\dfrac{2}{3}\)

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{2}{3}\).

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(\sqrt{2x-3}=x-2\)

Giải:

Điều kiện: \(x\ge\dfrac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta đưa tới phương trình hệ quả:

    \(\sqrt{2x-3}=x-2\) \(\Rightarrow\) \(2x-3=x^2-4x+4\)

                                \(\Rightarrow x^2-6x+7=0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm là \(x=3+\sqrt{2}\) và \(x=3-\sqrt{2}\).

Cả 2 nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện \(x\ge\dfrac{3}{2}\), nhưng khi thay vào phương trình đã cho thì \(x=3-\sqrt{2}\) không thỏa mãn nên bị loại, còn \(x=3+\sqrt{2}\) là nghiệm của phương trình.

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là \(x=3+\sqrt{2}\).