Ôn tập chương 2: Hàm số bậc nhất

a) – Vẽ đường thẳng (1) qua gốc tọa độ O và điểm (1; 2)

-Vẽ đường thẳng (2) qua gốc tọa độ O và điểm (1; 0,5)

-Vẽ đường thẳng (3) qua hai điểm (0; 6) và (6; 0).

b) Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng (3) với các đường thẳng (1) và (2), ta có:

- x + 6 = 2x => x = 2 => y = 4 => A(2; 4)

- x + 6 = 0,5x => x = 4 => y = 2 => B(4; 2)

Hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 có tung độ góc khác nhau (2 ≠ 1), do đó chúng song song với nhau khi các hệ số của x bằng nhau: a – 1 = 3 – a => a = 2.

Vậy, khi a = 2 thì hai đường thẳng song song với nhau.

a) * Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x + 2 (1)

Cho x = 0, tính được y = 2 => D(0; 2) thuộc đồ thị.

Cho y = 0, 0 = 0,5.x + 2 => x = -4 => A(-4; 0) thuộc đồ thị. Đường thẳng vẽ qua A, D là đồ thị của (1).

*Vẽ đồ thị hàm số y = 5 – 2x (2)

-Cho x = 0 tính được y = 5 E(0; 5) thuộc đồ thị

-Cho y = 0, 0 = 5 – 2x => x = 2,5 => B(2,5; 0) thuộc đồ thị. Đường thẳng vẽ qua B, E là đồ thị của (2).

b) Ở câu a) ta tính được tọa độ của hai điểm A và B: A(-4; 0), B(2,5; 0)

y = (k+1)x +3 (d)

và y = (3-2k)x + 1 (d’)

Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi:

a) Vì đã có 3 ≠ 1 nên (d) // (d’) khi và chỉ khi

k+1 = 3 – 2k

k = 2/3 (TMĐK (*))

Vậy với k = 2/3 thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau.

b) Hai đường thẳng (d) cắt (d’) khi và chỉ khi k+1 ≠ 3 – 2k

k ≠ 2/3

Vậy với k ≠ -1, k ≠3/2 và k ≠ 2/3 thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau.

c) Hai đường thẳng (d) và (d’) không thể trùng nhau vì có tung độ gốc khác nhau (do 3 ≠ 1).

Các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) đều là hàm số bậc nhất đối với x vì hệ số của x đều khác 0. Đồ thị của chúng là các đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là b. Do đó hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung, chỉ khi tung độ góc của chúng bằng nhau: 3 + m = 5 – m => m = 1.

Vậy khi m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Cho hai đường thẳng :

(d): y = ax + b (a ≠ 0)

(d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)

Thế thì:

(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’

(d) // (d’) ⇔ a = a’, b ≠ b’

(d) trùng (d’) ⇔ a = a’, b = b’

a) Hàm số đồng biến khi a > 0

b) Hàm số nghịch biến khi a < 0

Lời giải:

a) Hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất đối với x khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1, do đó hàm số đồng biến khi hệ số của x dương. Vậy m – 1 > 0 hay m > 1 thì hàm số đồng biến.

b) Hàm số y = (5 – k)x + 1 là hàm số bậc nhất đối với x khi 5 – k ≠ 0 hay k ≠ 5, do đó hàm số nghịch biến khi hệ số của x âm.

Vậy 5 – k < 0 hay 5 < k thì hàm số nghịch biến.

Hướng dẫn làm bài:

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi: k = 5 – k (1) và m – 2 = 4 – m (2)

Từ (1) ta có: k = 2,5

Từ (2) ta có: m = 3

Vậy, điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau là k = 2,5 và m = 3.