Question

Trên phần kéo dài của đường chéo AC của hình thang ABCD (BD // AD) về phái C lấy điểm P tùy ý. Các đường thẳng đi qua P và các trung điểm 2 đáy hình thang cắt các cạnh bên AB, CD tại M, N. Chứng minh rằng:

+, \(\frac{MB}{MA}=\frac{NC}{ND}\)

+, MN // AB // CD

Answer 1

Sửa đề: Hình thang \(ABCD\left(BC//AD\right)\) Ý 2: \(MN//AD//BC\)

Hình tự vẽ nha <3

Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC;AD\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(PE\) và \(AD\) và \(K\) là giao điểm của \(PK\) và \(BC\)

Xét \(\Delta MBE\) có: \(BE//AH\)

\(\Rightarrow\frac{MB}{MA}=\frac{BE}{HA}\)

Lại có: \(\frac{EC}{AH}=\frac{BE}{HA}\Rightarrow\frac{MB}{MA}=\frac{EC}{AH}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{NC}{ND}=\frac{CK}{AF}\)

Xét \(\Delta PAH\) có: \(EC//AH\)

\(\Rightarrow\frac{PC}{PA}=\frac{EC}{AH}\)

Xét \(\Delta PAF\) có: \(CK//AF\)

\(\Rightarrow\frac{PC}{PA}=\frac{CK}{AF}\Rightarrow\frac{MB}{MA}=\frac{NC}{ND}\Rightarrow MN//AD//BC\left(đpcm\right)\)