Question

Tìm tham số m để: \(\left|\frac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}\right|\le2\) \(\forall x\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow\left|\frac{x^2-mx+4}{x^2+x+4}\right|\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x^2-mx+4}{x^2+x+4}\ge\frac{1}{2}\\\frac{x^2-mx+4}{x^2+x+4}\le-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\left(x^2-mx+4\right)\ge x^2+x+4\\2\left(x^2-mx+4\right)\le-x^2-x-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-\left(2m+1\right)x+4\ge0\left(1\right)\\3x^2-\left(2m-1\right)x+12\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (2), do \(a=3>0\) nên ko tồn tại m để (2) thỏa mãn với mọi x

Xét (1), để BPT đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\Delta\le0\Leftrightarrow4m^2+4m-15\le0\)

\(\Rightarrow-\frac{5}{2}\le m\le\frac{3}{2}\)