ĐkXĐ: x \(\ne\)32
ta có:\(\frac{\sqrt{x}+2}{x+32}=\frac{1}{\frac{x-4+36}{\sqrt{x}+2}}=\frac{1}{\sqrt{x}-2+\frac{36}{\sqrt{x}+2}}=\frac{1}{\sqrt{x}+2+\frac{36}{\sqrt{x}+2}-4}\)
vì \(\sqrt{x}+2>0\)Áp dụng BĐT cauchy:
\(\sqrt{x}+2+\frac{36}{\sqrt{x}+2}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\frac{36}{\sqrt{x}+2}\right)}=12\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{x+32}\le\frac{1}{12-4}=\frac{1}{8}\)
dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x}+2=6\Leftrightarrow x=16\)(t/m đk)
đặt y=\(y=\sqrt{x}\Rightarrow y\ge0\)
\(A=\dfrac{y+2}{y^2+32}\)\(\Rightarrow A+\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{y+2}{y^2+32}=\dfrac{y^2+16y+64}{16.\left(y^2+32\right)}\)
\(A+\dfrac{1}{16}=\dfrac{\left(y+4\right)^2}{16\left(y^2+32\right)}\ge0\) đẳng thức khi y=-4 nằm ngoài khoảng đang xét.
A(0)=1/16 xét y>0 chia cả tử mấu A cho y khác 0
\(A=\dfrac{1+\dfrac{2}{y}}{y+\dfrac{32}{y}}\) hiển nhiên khi y đạt giá trị nào đó thì y càng lớn --> A càng nhỏ:
kết luận không có giá trị nhỏ nhất